Упр.11.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.33. Найдите одну из первообразных функции y=v(4-x^2) на промежутке [-2; 2].

Найдём первообразную для функции $$y=\sqrt{4-x^2}$$ на промежутке $$[-2;2].$$

Сделаем замену:

$$x=2\sin u,\qquad dx=2\cos u\,du.$$

Тогда

$$
\int \sqrt{4-x^2}\,dx
=
\int 2\cos u\sqrt{4-4\sin^2 u}\,du
=
\int 2\cos u\cdot 2\cos u\,du
=
\int 4\cos^2 u\,du.
$$

Используем формулу $$\cos^2 u=\dfrac{1+\cos 2u}{2}$$:

$$
\int 4\cos^2 u\,du
=
\int (2+2\cos 2u)\,du
=
2u+\sin 2u+C.
$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$
u=\arcsin \frac{x}{2},
$$

а также

$$
\sin 2u=2\sin u\cos u
=2\cdot \frac{x}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}
=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}.
$$

Следовательно, одна из первообразных имеет вид

$$
F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin \frac{x}{2}+C.
$$

Ответ

$$F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin \frac{x}{2}+C.$$