Упр.11.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.32. Вычислите определённый интеграл (0; 1)arcsin(x)dx.

Подробный ответ

Используем формулу для интеграла от обратной функции:

$$\int_a^b f^{-1}(x)\,dx=b f^{-1}(b)-a f^{-1}(a)-\int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)} f(x)\,dx.$$

Здесь $$f(x)=\sin x,$$ тогда $$f^{-1}(x)=\arcsin x.$$

Найдём значения обратной функции на концах отрезка:

$$\arcsin 0=0,\qquad \arcsin 1=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\int_0^1 \arcsin x\,dx=\int_0^{\pi/2} (1-\sin x)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$\int_0^{\pi/2} (1-\sin x)\,dx=\left(x+\cos x\right)\Big|_0^{\pi/2}.$$

Подставим пределы:

$$\left(\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}\right)-\left(0+\cos 0\right)=\frac{\pi}{2}+0-1=\frac{\pi}{2}-1.$$