Упр.11.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.30. Найдите (-1; 1)ln(v(1+x^2)-x)dx.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\ln\left(\sqrt{1+x^2}-x\right).$$

Проверим её чётность:

$$f(-x)=\ln\left(\sqrt{1+(-x)^2}-(-x)\right)=\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right).$$

Тогда

$$f(x)+f(-x)=\ln\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right).$$

Объединим логарифмы:

$$f(x)+f(-x)=\ln\left(\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\right).$$

$$f(x)+f(-x)=\ln\left((1+x^2)-x^2\right)=\ln 1=0.$$

Значит, $$f(-x)=-f(x)$$, то есть функция нечётная. Тогда на симметричном промежутке $$[-1;1]$$

$$\int_{-1}^{1}\ln\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\,dx=0.$$

Ответ

$$0$$