Упр.11.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (-1; 1)v(1-x^2)dx; 3) (4; 8)v(8x-x^2)dx; 5) (-4; 1)|x|dx;
2) (-3; 0)v(9-x^2)dx; 4) (-5; 1)(5-4x-x^2)dx; 6) (0; 5)|x-2|dx.

1. $$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$$

   График $$y=\sqrt{1-x^2}$$ — верхняя полуокружность радиуса $$R=1$$. Тогда искомый интеграл равен площади полуокружности:

   $$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{2}=\frac{\pi\cdot 1^2}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

2. $$\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx$$

   График $$y=\sqrt{9-x^2}$$ — верхняя полуокружность радиуса $$R=3$$. На отрезке $$[-3;0]$$ берётся четверть круга:

   $$\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{4}=\frac{\pi\cdot 3^2}{4}=\frac{9\pi}{4}.$$

3. $$\int_{4}^{8}\sqrt{8x-x^2}\,dx$$

   Преобразуем подкоренное выражение:

   $$
   8x-x^2=16-(x-4)^2.
   $$

   Это верхняя полуокружность радиуса $$R=4$$ с центром в точке $$x=4$$. На отрезке $$[4;8]$$ снова получаем четверть круга:

   $$\int_{4}^{8}\sqrt{8x-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{4}=\frac{\pi\cdot 4^2}{4}=4\pi.$$

4. $$\int_{-5}^{1}\sqrt{5-4x-x^2}\,dx$$

   Преобразуем подкоренное выражение:

   $$
   5-4x-x^2=9-(x+2)^2.
   $$

   Это верхняя полуокружность радиуса $$R=3$$. На отрезке $$[-5;1]$$ берётся половина круга:

   $$\int_{-5}^{1}\sqrt{5-4x-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{2}=\frac{\pi\cdot 3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}.$$

5. $$\int_{-4}^{1}|x|\,dx$$

   Разобьём интеграл в точке $$x=0$$:

   $$
   \int_{-4}^{1}|x|\,dx=\int_{-4}^{0}(-x)\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx.
   $$

   Геометрически это сумма площадей двух треугольников:

   $$
   \frac{4\cdot 4}{2}+\frac{1\cdot 1}{2}=8+\frac12=\frac{17}{2}.
   $$

6. $$\int_{0}^{5}|x-2|\,dx$$

   Разобьём интеграл в точке $$x=2$$:

   $$
   \int_{0}^{5}|x-2|\,dx=\int_{0}^{2}(2-x)\,dx+\int_{2}^{5}(x-2)\,dx.
   $$

   Это сумма площадей двух треугольников:

   $$
   \frac{2\cdot 2}{2}+\frac{3\cdot 3}{2}=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}.
   $$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{2}$$; 2) $$\frac{9\pi}{4}$$; 3) $$4\pi$$; 4) $$\frac{9\pi}{2}$$; 5) $$\frac{17}{2}$$; 6) $$\frac{13}{2}$$.