Упр.11.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.26. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции y=2x^3 и прямой, которая касается этого графика в точке с абсциссой x_0=1.

Подробный ответ

Найдём уравнение касательной к графику функции $$y=2x^3$$ в точке с абсциссой $$x_0=1$$.

$$y(1)=2\cdot 1^3=2,$$

$$y'(x)=6x^2,$$

$$y'(1)=6.$$

Уравнение касательной:

$$y-2=6(x-1),$$

откуда

$$y=6x-4.$$

Найдём точки пересечения графика функции и касательной:

$$2x^3=6x-4,$$

$$2x^3-6x+4=0,$$

$$x^3-3x+2=0,$$

$$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0.$$

Значит, точки пересечения имеют абсциссы $$x=1$$ и $$x=-2$$. Фигура, ограниченная осью абсцисс, графиком $$y=2x^3$$ и касательной, лежит на отрезке $$\left[0,1\right]$$ под графиком функции $$y=2x^3$$ и на отрезке $$\left[\frac{2}{3},1\right]$$ под касательной.

Тогда площадь равна

$$
S=\int_0^1 2x^3\,dx-\int_{2/3}^1 (6x-4)\,dx.
$$

Вычислим:

$$
\int_0^1 2x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{2}\right|_0^1=\frac12,
$$

$$
\int_{2/3}^1 (6x-4)\,dx=\left.(3x^2-4x)\right|_{2/3}^1
=(3-4)-\left(3\cdot\frac49-\frac83\right)
=-1-(-\frac43)=\frac13.
$$

Следовательно,

$$
S=\frac12-\frac13=\frac16.
$$