Упр.11.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.25. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=(1/2)x^2+1, прямой, которая касается этой параболы в точке с абсциссой x_0=2, и осями координат.

Подробный ответ

Найдём уравнение касательной к параболе $$y=\frac12x^2+1$$ в точке с абсциссой $$x_0=2$$.

Вычислим ординату точки касания:

$$y(2)=\frac12\cdot 2^2+1=2+1=3.$$

Производная функции:

$$y’=\left(\frac12x^2+1\right)’=x.$$

Тогда угловой коэффициент касательной в точке $$x_0=2$$ равен

$$y'(2)=2.$$

Уравнение касательной:

$$y-3=2(x-2),$$

откуда

$$y=2x-1.$$

Фигура ограничена параболой $$y=\frac12x^2+1$$, касательной $$y=2x-1$$ и осями координат. Поэтому её площадь равна разности площадей под графиками на соответствующих промежутках:

$$S=\int_0^2\left(\frac12x^2+1\right)\,dx-\int_{0.5}^2(2x-1)\,dx.$$

Вычислим интегралы:

$$\int_0^2\left(\frac12x^2+1\right)\,dx=\left(\frac{x^3}{6}+x\right)\Bigg|_0^2=\frac{8}{6}+2=\frac{10}{3},$$

$$\int_{0.5}^2(2x-1)\,dx=\left(x^2-x\right)\Bigg|_{0.5}^2=(4-2)-\left(\frac14-\frac12\right)=2+\frac14=\frac94.$$

Тогда

$$S=\frac{10}{3}-\frac94=\frac{40-27}{12}=\frac{13}{12}.$$