Упр.11.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) графиком функции y={(x+3, если x < -1; x^2+1, если x > -1) и прямыми y=0, x=-2, x=0;
2) графиком функции y={(x+2, если -2 < x < 0; 2cos(2x), если 0 < x < п/4) и прямой y=0.

1) Площадь фигуры равна сумме площадей под графиком на отрезках $$[-2;-1]$$ и $$[-1;0]$$:

$$
S=\int_{-2}^{-1}(x+3)\,dx+\int_{-1}^{0}(x^2+1)\,dx.
$$

$$
\int_{-2}^{-1}(x+3)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)\Bigg|_{-2}^{-1}
=\left(\frac12-3\right)-\left(2-6\right)=\frac32,
$$

$$
\int_{-1}^{0}(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{0}
=0-\left(-\frac13-1\right)=\frac43.
$$

Тогда
$$
S=\frac32+\frac43=\frac{17}{6}.
$$

2) Здесь площадь равна сумме площадей под графиком на отрезках $$[-2;0]$$ и $$[0;\frac{\pi}{4}]$$:

$$
S=\int_{-2}^{0}(x+2)\,dx+\int_{0}^{\pi/4}2\cos 2x\,dx.
$$

$$
\int_{-2}^{0}(x+2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{0}=0-\left(2-4\right)=2,
$$

$$
\int_{0}^{\pi/4}2\cos 2x\,dx=\left(\sin 2x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4}=1-0=1.
$$

Следовательно,
$$
S=2+1=3.
$$

Ответ

1) $$\frac{17}{6}$$; 2) $$3$$.