Упр.11.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) графиком функции y={(2-x^2, если x < 1; 2x-1, если x > 1) и прямыми y=0, x=-1, x=2;
2) графиком функции y={(cos(x), если -п/2 < x < 0; 1-x, если 0 < x < 1) и прямой y=0.

1. На отрезке $$[-1;1]$$ график задан функцией $$y=2-x^2$$, а на отрезке $$[1;2]$$ — функцией $$y=2x-1$$. Площадь фигуры равна

   $$
   S=\int_{-1}^{1}(2-x^2)\,dx+\int_{1}^{2}(2x-1)\,dx.
   $$

   Вычислим интегралы:

   $$
   \int_{-1}^{1}(2-x^2)\,dx=\left(2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1}
   =\left(2-\frac13\right)-\left(-2+\frac13\right)=\frac{10}{3},
   $$

   $$
   \int_{1}^{2}(2x-1)\,dx=\left(x^2-x\right)\Bigg|_{1}^{2}=(4-2)-(1-1)=2.
   $$

   Тогда

   $$
   S=\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3}.
   $$

2. На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ график задан функцией $$y=\cos x$$, а на отрезке $$[0;1]$$ — функцией $$y=1-x$$. Тогда

   $$
   S=\int_{-\pi/2}^{0}\cos x\,dx+\int_{0}^{1}(1-x)\,dx.
   $$

   Вычислим:

   $$
   \int_{-\pi/2}^{0}\cos x\,dx=\sin x\Bigg|_{-\pi/2}^{0}=\sin 0-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1,
   $$

   $$
   \int_{0}^{1}(1-x)\,dx=\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{1}=1-\frac12=\frac12.
   $$

   Следовательно,

   $$
   S=1+\frac12=\frac32.
   $$

Ответ

1) $$\frac{16}{3}$$; 2) $$\frac{3}{2}$$.