Упр.11.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) y=x^2-4x, y=x-4;
2) y=3-x^2, y=2x;
3) y=cos(x), y=-2cos(x), x=-п/6; x=п/2;
4) y=4-x^2, y=x^2-2x.

Подробный ответ

$$y=x^2-4x,\quad y=x-4$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2-4x=x-4$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
На отрезке $$[1;4]$$ сверху прямая $$y=x-4$$, снизу парабола $$y=x^2-4x$$, поэтому
$$S=\int\limits_1^4 \bigl((x-4)-(x^2-4x)\bigr)\,dx=\int\limits_1^4(-x^2+5x-4)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right)\Bigg|_1^4=\frac{9}{2}$$
$$y=3-x^2,\quad y=2x$$
Точки пересечения:
$$3-x^2=2x$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$
На отрезке $$[-3;1]$$ сверху парабола $$y=3-x^2$$, снизу прямая $$y=2x$$:
$$S=\int\limits_{-3}^1 \bigl((3-x^2)-2x\bigr)\,dx=\int\limits_{-3}^1(3-x^2-2x)\,dx$$
$$S=\left(3x-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\Bigg|_{-3}^1=\frac{32}{3}$$
$$y=\cos x,\quad y=-2\cos x,\quad x=-\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{\pi}{2}$$
На данном промежутке $$\cos x\ge 0$$, значит сверху график $$y=\cos x$$, снизу $$y=-2\cos x$$:
$$S=\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/2}\bigl(\cos x-(-2\cos x)\bigr)\,dx=\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/2}3\cos x\,dx$$
$$S=3\sin x\Bigg|_{-\pi/6}^{\pi/2}=3\left(1-\left(-\frac12\right)\right)=\frac{9}{2}$$
$$y=4-x^2,\quad y=x^2-2x$$
Точки пересечения:
$$4-x^2=x^2-2x$$
$$2x^2-2x-4=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2$$
На отрезке $$[-1;2]$$ сверху график $$y=4-x^2$$, снизу $$y=x^2-2x$$:
$$S=\int\limits_{-1}^2 \bigl((4-x^2)-(x^2-2x)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^2(4-2x^2+2x)\,dx$$
$$S=\left(4x-\frac{2x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{-1}^2=9$$