Упр.11.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=x^2-3x-4, y=0, x=0, x=3;
2) y=-x^2, y=x-2;
3) y=x^2-4, y=4-x^2;
4) y=x^2-2x, y=x;
5) y=3sin(x), y=-2sin(x), x=0, x=2п/3;
6) y=4/x-2, y=2, x=2, x=4.

1. $$S=\int_{0}^{3}(0-(x^2-3x-4))\,dx=\int_{0}^{3}(-x^2+3x+4)\,dx$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+4x\right)\Bigg|_{0}^{3}=-9+\frac{27}{2}+12=\frac{33}{2}$$

2. Найдём точки пересечения:

   $$-x^2=x-2$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9,\quad x_1=-2,\quad x_2=1$$

   На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится график $$y=-x^2$$, снизу — $$y=x-2$$.

   $$S=\int_{-2}^{1}\bigl((-x^2)-(x-2)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}=\frac{9}{2}$$

3. Найдём точки пересечения:

   $$x^2-4=4-x^2$$

   $$2x^2-8=0$$

   $$x^2-4=0,\quad x_1=-2,\quad x_2=2$$

   На отрезке $$[-2;2]$$ сверху график $$y=4-x^2$$, снизу — $$y=x^2-4$$.

   $$S=\int_{-2}^{2}\bigl((4-x^2)-(x^2-4)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{2}(8-2x^2)\,dx$$

   $$S=\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2}=\frac{64}{3}$$

4. Найдём точки пересечения:

   $$x^2-2x=x$$

   $$x^2-3x=0$$

   $$x(x-3)=0,\quad x_1=0,\quad x_2=3$$

   На отрезке $$[0;3]$$ сверху график $$y=x$$, снизу — $$y=x^2-2x$$.

   $$S=\int_{0}^{3}\bigl(x-(x^2-2x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{3}=\frac{9}{2}$$

5. $$S=\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}\bigl(3\sin x-(-2\sin x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}5\sin x\,dx$$

   $$S=\left(-5\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\frac{2\pi}{3}}=-5\cos\frac{2\pi}{3}+5\cos 0=\frac{15}{2}$$

6. $$S=\int_{2}^{4}\left(\left(\frac{4}{x}-2\right)-2\right)\,dx=\int_{2}^{4}\left(\frac{4}{x}-4\right)\,dx$$

   $$S=\left(4\ln|x|-4x\right)\Bigg|_{2}^{4}$$

   $$S=(4\ln 4-16)-(4\ln 2-8)=4\ln 2-8$$

Ответ

1) $$\frac{33}{2}$$; 2) $$\frac{9}{2}$$; 3) $$\frac{64}{3}$$; 4) $$\frac{9}{2}$$; 5) $$\frac{15}{2}$$; 6) $$4\ln 2-8$$.