Упр.11.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.18. При каких значениях а выполняется неравенство (1/2; a)(1/x^2+1)dx > 1,5, где a > 1/2?

Вычислим первообразную:

$$\int \left(\frac{1}{x^2}+1\right)\,dx=-\frac{1}{x}+x.$$

Тогда

$$\int_{1/2}^{a}\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\,dx=\left(-\frac{1}{a}+a\right)-\left(-\frac{1}{1/2}+\frac{1}{2}\right).$$

Так как $$-\frac{1}{1/2}=-2,$$ получаем

$$\left(-\frac{1}{a}+a\right)-\left(-2+\frac{1}{2}\right)>1{,}5.$$

Упростим:

$$-\frac{1}{a}+a+\frac{3}{2}>\frac{3}{2},$$

откуда

$$a-\frac{1}{a}>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^2-1}{a}>0.$$

Так как по условию $$a>\frac{1}{2},$$ то знаменатель положителен, значит нужно решить неравенство

$$a^2-1>0.$$

Тогда

$$ (a-1)(a+1)>0.$$

С учётом условия $$a>\frac{1}{2}$$ получаем

$$a>1.$$

Ответ

$$a\in(1;+\infty).$$