Упр.11.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.14. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x^3, y=0 и x=a, равна 8?

Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=2x^3,$$ $$y=0$$ и $$x=a,$$ найдём по формуле определённого интеграла.

1) Если $$a>0,$$ то

$$
S=\int\limits_0^a 2x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{2}\right|_0^a=\frac{a^4}{2}.
$$

По условию $$S=8,$$ значит

$$
\frac{a^4}{2}=8,\qquad a^4=16,\qquad a=2.
$$

2) Если $$a<0,$$ то

$$
S=\int\limits_a^0 2x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{2}\right|_a^0=-\frac{a^4}{2}.
$$

Так как площадь положительна, получаем

$$
-\frac{a^4}{2}=8,\qquad a^4=16,\qquad a=-2.
$$

Ответ

$$a=-2,\;2.$$