Упр.11.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) y=x^2, y=4; 4) y=4/x, y=1, x=1;
2) y=2x^2, y=2x; 5) y=4/x, y=4, x=4;
3) y=e^x, y=1, x=2; 6) y=x^2-4x+5, y=5;
7) y=2+x-x^2, y=2-x; 12) y=e^x, y=e, x=0;
8) y=x^2+2, y=x+4; 13) y=7/x, x+y=8;
9) y=x^2+2x+1, y=x+3; 14) y=2/x^2, y=2x, x=2;
10) y=-x^2+2x, y=x^2; 15) y=sin(x), y=cos(x), x=0, x=п/4.
11) y=x^3, y=x^2;
1) $$y=x^2,\quad y=4$$
Точки пересечения:
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx
=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2}
=\frac{32}{3}.
$$2) $$y=2x^2,\quad y=2x$$
Точки пересечения:
$$2x^2=2x,\quad 2x(x-1)=0,\quad x=0,\;1.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{0}^{1}(2x-2x^2)\,dx
=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}
=\frac{1}{3}.
$$3) $$y=e^x,\quad y=1,\quad x=2$$
Точка пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=1$$:
$$e^x=1,\quad x=0.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{0}^{2}(e^x-1)\,dx
=\left(e^x-x\right)\Bigg|_{0}^{2}
=e^2-3.
$$4) $$y=\frac{4}{x},\quad y=1,\quad x=1$$
Точка пересечения:
$$\frac{4}{x}=1,\quad x=4.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{1}^{4}\left(\frac{4}{x}-1\right)\,dx
=\left(4\ln|x|-x\right)\Bigg|_{1}^{4}
=4\ln 4-3.
$$5) $$y=\frac{4}{x},\quad y=4,\quad x=4$$
Точка пересечения:
$$\frac{4}{x}=4,\quad x=1.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{1}^{4}\left(4-\frac{4}{x}\right)\,dx
=\left(4x-4\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{4}
=12-4\ln 4.
$$6) $$y=x^2-4x+5,\quad y=5$$
Точки пересечения:
$$x^2-4x+5=5,\quad x(x-4)=0,\quad x=0,\;4.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{0}^{4}(5-(x^2-4x+5))\,dx
=\int_{0}^{4}(4x-x^2)\,dx
=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{4}
=\frac{32}{3}.
$$7) $$y=2+x-x^2,\quad y=2-x$$
Точки пересечения:
$$2+x-x^2=2-x,\quad x(2-x)=0,\quad x=0,\;2.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{0}^{2}\bigl((2+x-x^2)-(2-x)\bigr)\,dx
=\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx
=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2}
=\frac{4}{3}.
$$8) $$y=x^2+2,\quad y=x+4$$
Точки пересечения:
$$x^2+2=x+4,\quad x^2-x-2=0,\quad x=-1,\;2.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{-1}^{2}\bigl((x+4)-(x^2+2)\bigr)\,dx
=\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx
=\frac{9}{2}.
$$9) $$y=x^2+2x+1,\quad y=x+3$$
Точки пересечения:
$$x^2+2x+1=x+3,\quad x^2+x-2=0,\quad x=-2,\;1.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{-2}^{1}\bigl((x+3)-(x^2+2x+1)\bigr)\,dx
=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
=\frac{9}{2}.
$$10) $$y=-x^2+2x,\quad y=x^2$$
Точки пересечения:
$$-x^2+2x=x^2,\quad 2x^2-2x=0,\quad x=0,\;1.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{0}^{1}\bigl((-x^2+2x)-x^2\bigr)\,dx
=\int_{0}^{1}(2x-2x^2)\,dx
=\frac{1}{3}.
$$11) $$y=x^3,\quad y=x^2$$
Точки пересечения:
$$x^3=x^2,\quad x^2(x-1)=0,\quad x=0,\;1.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{0}^{1}(x^2-x^3)\,dx
=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{0}^{1}
=\frac{1}{12}.
$$12) $$y=e^x,\quad y=e,\quad x=0$$
Точка пересечения:
$$e^x=e,\quad x=1.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{0}^{1}(e-e^x)\,dx
=\left(ex-e^x\right)\Bigg|_{0}^{1}
=1.
$$13) $$y=\frac{7}{x},\quad x+y=8$$
Из уравнения прямой $$y=8-x$$. Точки пересечения:
$$\frac{7}{x}=8-x,\quad x^2-8x+7=0,\quad x=1,\;7.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{1}^{7}\left(\frac{7}{x}-(8-x)\right)\,dx
=\int_{1}^{7}\left(\frac{7}{x}-8+x\right)\,dx
=24-7\ln 7.
$$14) $$y=\frac{2}{x^2},\quad y=2x,\quad x=2$$
Точка пересечения:
$$\frac{2}{x^2}=2x,\quad x^3=1,\quad x=1.$$
Площадь фигуры:
$$
S=\int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x^2}-2x\right)\,dx
=\left(-\frac{2}{x}-x^2\right)\Bigg|_{1}^{2}
=2.
$$15) $$y=\sin x,\quad y=\cos x,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{4}$$
На отрезке $$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$$ имеем $$\cos x\ge \sin x$$, поэтому
$$
S=\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx
=\left(\sin x+\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4}
=\sqrt{2}-1.
$$
Ответ
1) $$\frac{32}{3}$$; 2) $$\frac{1}{3}$$; 3) $$e^2-3$$; 4) $$4\ln 4-3$$; 5) $$12-4\ln 4$$; 6) $$\frac{32}{3}$$; 7) $$\frac{4}{3}$$; 8) $$\frac{9}{2}$$; 9) $$\frac{9}{2}$$; 10) $$\frac{1}{3}$$; 11) $$\frac{1}{12}$$; 12) $$1$$; 13) $$24-7\ln 7$$; 14) $$2$$; 15) $$\sqrt{2}-1$$.
