Упр.11.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 11.1. Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 11.11.
$$y=x^2,\quad a=1,\quad b=2$$
$$S=\int\limits_{1}^{2}x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$
$$y=x^3,\quad a=0,\quad b=1$$
$$S=\int\limits_{0}^{1}x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}$$
$$y=\cos x,\quad a=\frac{\pi}{6},\quad b=\frac{\pi}{3}$$
$$S=\int\limits_{\pi/6}^{\pi/3}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{\pi/6}^{\pi/3}=\sin\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$
$$y=e^x,\quad a=-1,\quad b=1$$
$$S=\int\limits_{-1}^{1}e^x\,dx=\left.e^x\right|_{-1}^{1}=e-\frac{1}{e}$$
$$y=\sqrt{x},\quad a=0,\quad b=4$$
$$S=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{x}\,dx=\int\limits_{0}^{4}x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{0}^{4}=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$$
$$y=-\frac{6}{x},\quad a=-3,\quad b=-2$$
$$S=\int\limits_{-3}^{-2}\left(-\frac{6}{x}\right)\,dx=\left.-6\ln|x|\right|_{-3}^{-2}=-6\ln 2+6\ln 3=6\ln\frac{3}{2}$$
$$y=4-x^2,\quad a=-2,\quad b=2$$
$$S=\int\limits_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left.(4x-\frac{x^3}{3})\right|_{-2}^{2}$$
$$S=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$
$$y=\frac{1}{x^2},\quad a=\frac{1}{2},\quad b=1$$
$$S=\int\limits_{1/2}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx=\int\limits_{1/2}^{1}x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{1/2}^{1}=-1-(-2)=1$$
Ответ
а) $$\frac{7}{3}$$; б) $$\frac{1}{4}$$; в) $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$; г) $$e-\frac{1}{e}$$; д) $$\frac{16}{3}$$; е) $$6\ln\frac{3}{2}$$; ж) $$\frac{32}{3}$$; з) $$1$$.
