Упр.10.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=1-2x, I=(-бесконечность; +бесконечность), F(3)=2;
2) f(x)=3x^2-4x, I=(-бесконечность; +бесконечность), F(1)=4;
3) f(x)=(1/3)sin(x/3)cos(x/2), I=(-бесконечность; +бесконечность), F(п)=7;
4) f(x)=cos(п/4-3x), I=(-бесконечность; +бесконечность), F(п/4)=2;
5) f(x)=4-1/x^2, I=(0; +бесконечность), F(1/4)=1;
6) f(x)=7/(x-4)+1/v(x+4), I=(4; +бесконечность), F(5)=6;
7) f(x)=3/v(6x+1), I=(-1/6; +бесконечность), F(4)=7;
8) f(x)=e^(3x), I=(-бесконечность; +бесконечность), F(0)=1;
9) f(x)=(2-3x)^2, I=(-бесконечность; +бесконечность), F(1)=0;
10) f(x)=4/cos^2(6x-п/6), I=(-бесконечность/18; п/9), F(0)=-2v3/9.

1. $$f(x)=1-2x,\quad F'(x)=f(x)$$

   $$F(x)=\int (1-2x)\,dx=x-x^2+C$$

   Из условия $$F(3)=2$$ получаем:

   $$3-9+C=2,\quad C=8$$

   $$F(x)=x-x^2+8$$

2. $$f(x)=3x^2-4x$$

   $$F(x)=\int (3x^2-4x)\,dx=x^3-2x^2+C$$

   Из условия $$F(1)=4$$:

   $$1-2+C=4,\quad C=5$$

   $$F(x)=x^3-2x^2+5$$

3. $$f(x)=\frac13\sin\frac{x}{3}+\frac12\cos\frac{x}{2}$$

   $$F(x)=\int \left(\frac13\sin\frac{x}{3}+\frac12\cos\frac{x}{2}\right)dx=-\cos\frac{x}{3}+\sin\frac{x}{2}+C$$

   Из условия $$F(\pi)=7$$:

   $$-\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{2}+C=7$$

   $$-\frac12+1+C=7,\quad C=\frac{13}{2}$$

   $$F(x)=\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{3}+\frac{13}{2}$$

4. $$f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)$$

   $$F(x)=\int \cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)dx=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+C$$

   Из условия $$F\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$$:

   $$\frac13\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+C=2$$

   $$\frac13+C=2,\quad C=\frac53$$

   $$F(x)=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac53$$

5. $$f(x)=4-\frac{1}{x^2},\quad x>0$$

   $$F(x)=\int \left(4-\frac{1}{x^2}\right)dx=4x+\frac{1}{x}+C$$

   Из условия $$F\left(\frac14\right)=1$$:

   $$4\cdot\frac14+\frac{1}{1/4}+C=1$$

   $$1+4+C=1,\quad C=-4$$

   $$F(x)=4x+\frac{1}{x}-4$$

6. $$f(x)=\frac{7}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x+4}},\quad x>4$$

   $$F(x)=\int \left(\frac{7}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}\right)dx=7\ln(x-4)+2\sqrt{x+4}+C$$

   Из условия $$F(5)=6$$:

   $$7\ln 1+2\sqrt{9}+C=6$$

   $$0+6+C=6,\quad C=0$$

   $$F(x)=7\ln(x-4)+2\sqrt{x+4}$$

7. $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{6x+1}},\quad x>-\frac16$$

   $$F(x)=\int \frac{3}{\sqrt{6x+1}}\,dx=\sqrt{6x+1}+C$$

   Из условия $$F(4)=7$$:

   $$\sqrt{25}+C=7$$

   $$5+C=7,\quad C=2$$

   $$F(x)=\sqrt{6x+1}+2$$

8. $$f(x)=e^{3x}$$

   $$F(x)=\int e^{3x}dx=\frac13 e^{3x}+C$$

   Из условия $$F(0)=1$$:

   $$\frac13 e^0+C=1,\quad \frac13+C=1,\quad C=\frac23$$

   $$F(x)=\frac13 e^{3x}+\frac23$$

9. $$f(x)=(2-3x)^2$$

   $$F(x)=\int (2-3x)^2dx=-\frac{(2-3x)^3}{9}+C=\frac{(3x-2)^3}{9}+C$$

   Из условия $$F(1)=0$$:

   $$\frac{1}{9}+C=0,\quad C=-\frac19$$

   $$F(x)=\frac{(3x-2)^3}{9}-\frac19$$

10. $$f(x)=\frac{4}{\cos^2\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)},\quad -\frac{\pi}{18}<x<\frac{\pi}{9}$$

    $$F(x)=\int \frac{4}{\cos^2\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac23\tan\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)+C$$

    Из условия $$F(0)=-\frac{2\sqrt3}{9}$$:

    $$\frac23\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)+C=-\frac{2\sqrt3}{9}$$

    $$\frac23\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)+C=-\frac{2\sqrt3}{9}$$

    $$-\frac{2\sqrt3}{9}+C=-\frac{2\sqrt3}{9},\quad C=0$$

    $$F(x)=\frac23\tan\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)$$

Ответ

1. $$F(x)=x-x^2+8$$
2. $$F(x)=x^3-2x^2+5$$
3. $$F(x)=\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{3}+\frac{13}{2}$$
4. $$F(x)=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac53$$
5. $$F(x)=4x+\frac{1}{x}-4$$
6. $$F(x)=7\ln(x-4)+2\sqrt{x+4}$$
7. $$F(x)=\sqrt{6x+1}+2$$
8. $$F(x)=\frac13 e^{3x}+\frac23$$
9. $$F(x)=\frac{(3x-2)^3}{9}-\frac19$$
10. $$F(x)=\frac23\tan\left(6x-\frac{\pi}{6}\right)$$