Упр.10.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) делает замену x^2=t и получает функцию y=cos(t);
2) далее ищет первообразную функции y=cos(t) и получает y=sin(t);
3) потом вместо t подставляет значение t=x^2 и делает вывод, что каждая первообразная имеет вид y=sin(x^2)+C, где С — некоторое число.
В чём состоит ошибка этого учащегося?

Подробный ответ

Проверим найденную первообразную:

$$F(x)=\sin x^2+C,$$

тогда

$$F'(x)=2x\cos x^2.$$

Но исходная функция равна

$$f(x)=\cos x^2,$$

и поэтому $$F'(x)\ne f(x).$$

Ошибка учащегося состоит в том, что он неверно применил замену переменной. Нельзя сначала найти первообразную функции $$\cos t$$ по переменной $$t$$, а затем просто подставить $$t=x^2$$. При замене переменной нужно учитывать производную внутренней функции.

На самом деле

$$\int \cos(x^2)\,dx$$

не выражается через элементарные функции.