Упр.10.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 10.20. Для функции f(x)=x+1 найдите такую первообразную, что её график имеет только одну общую точку с прямой y=-4.

Подробный ответ

Первообразная для функции $$f(x)=x+1$$ имеет вид

$$F(x)=\frac{x^2}{2}+x+C.$$

График этой функции должен иметь с прямой $$y=-4$$ только одну общую точку. Это возможно, если прямая $$y=-4$$ касается параболы $$y=F(x)$$.

В точке касания производная равна угловому коэффициенту прямой $$y=-4$$, то есть нулю:

$$F'(x)=x+1=0,$$

откуда

$$x=-1.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$F(-1)=\frac{(-1)^2}{2}+(-1)+C=\frac12-1+C=-\frac12+C.$$

Так как точка касания лежит на прямой $$y=-4$$, то

$$-\frac12+C=-4,$$