Упр.10.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 10.19. Для функции f(x)=-2x+5 найдите такую первообразную, что её график имеет только одну общую точку с прямой у=2.

Ищем первообразную для функции $$f(x)=-2x+5.$$

Общая первообразная имеет вид

$$F(x)=-x^2+5x+C.$$

График этой функции должен иметь с прямой $$y=2$$ только одну общую точку, значит прямая $$y=2$$ касается параболы $$y=F(x)$$. Тогда уравнение

$$-x^2+5x+C=2$$

должно иметь единственный корень, то есть дискриминант равен нулю:

$$D=5^2-4\cdot(-1)\cdot(C-2)=25+4(C-2)=0.$$

Отсюда

$$25+4C-8=0,$$

$$4C=-17,$$

$$C=-\frac{17}{4}.$$

Тогда искомая первообразная:

$$F(x)=-x^2+5x-\frac{17}{4}.$$

Ответ

$$F(x)=-x^2+5x-\frac{17}{4}.$$