Упр.10.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 10.17. Для функции f(x)=2x^2+3x найдите такую первообразную, что прямая y=5x-2 является касательной к её графику.

Найдём первообразную функции $$f(x)=2x^2+3x$$:

$$F(x)=\int (2x^2+3x)\,dx=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+C.$$

Прямая $$y=5x-2$$ является касательной к графику $$F(x)$$, значит в точке касания выполняются условия:

$$F'(x)=5,\qquad F(x)=5x-2.$$

Так как $$F'(x)=2x^2+3x$$, получаем:

$$2x^2+3x=5$$

$$2x^2+3x-5=0$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49.$$

Тогда

$$x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{5}{2},\qquad x_2=\frac{-3+7}{4}=1.$$

Найдём соответствующие значения ординаты на прямой:

$$y_1=5\left(-\frac{5}{2}\right)-2=-\frac{29}{2},\qquad y_2=5\cdot 1-2=3.$$

Подставим точки касания в формулу первообразной.

1) При $$x=-\frac{5}{2}$$:

$$\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{2}\right)^3+\frac{3}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)^2+C=-\frac{29}{2}.$$

$$-\frac{125}{12}+\frac{75}{8}+C=-\frac{29}{2},$$

$$C=-\frac{323}{24}.$$

2) При $$x=1$$:

$$\frac{2}{3}\cdot 1^3+\frac{3}{2}\cdot 1^2+C=3,$$

$$\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+C=3,$$

$$C=\frac{5}{6}.$$

Следовательно, подходят две первообразные:

$$F_1(x)=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-\frac{323}{24},$$

$$F_2(x)=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{6}.$$

Ответ

$$F(x)=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-\frac{323}{24}$$ или $$F(x)=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{6}.$$