Упр.10.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos^2(2x)dx; 2) cos(x)cos(8x)dx.

1) Используем формулу понижения степени:

$$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}.$$

Тогда

$$\int \cos^2 2x\,dx=\int \frac{1+\cos 4x}{2}\,dx=\frac12\int 1\,dx+\frac12\int \cos 4x\,dx.$$

$$\frac12\int 1\,dx=\frac{x}{2}, \qquad \frac12\int \cos 4x\,dx=\frac12\cdot \frac14\sin 4x=\frac18\sin 4x.$$

Следовательно,

$$\int \cos^2 2x\,dx=\frac{x}{2}+\frac18\sin 4x+C.$$

2) Применим формулу произведения косинусов:

$$\cos x\cos 8x=\frac12\bigl(\cos 9x+\cos 7x\bigr).$$

Тогда

$$\int \cos x\cos 8x\,dx=\frac12\int (\cos 9x+\cos 7x)\,dx.$$

$$\frac12\int \cos 9x\,dx=\frac12\cdot \frac19\sin 9x=\frac1{18}\sin 9x,$$

$$\frac12\int \cos 7x\,dx=\frac12\cdot \frac17\sin 7x=\frac1{14}\sin 7x.$$

Значит,

$$\int \cos x\cos 8x\,dx=\frac1{18}\sin 9x+\frac1{14}\sin 7x+C.$$

Ответ

1) $$\frac{x}{2}+\frac18\sin 4x+C$$

2) $$\frac1{18}\sin 9x+\frac1{14}\sin 7x+C$$