Упр.10.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^2(x)dx; 2) sin(5x)cos(3x)dx; 3) sin(7x/3)sin(5x/3)dx.

1. Используем формулу

   $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

   Тогда

   $$\int \sin^2 x\,dx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac12\int (1-\cos 2x)\,dx.$$

   Интегрируем:

   $$\frac12\left(x-\frac12\sin 2x\right)+C=\frac{x}{2}-\frac14\sin 2x+C.$$

2. Применим формулу произведения в сумму:

   $$\sin 5x\cos 3x=\frac12\bigl(\sin 8x+\sin 2x\bigr).$$

   Тогда

   $$\int \sin 5x\cos 3x\,dx=\frac12\int (\sin 8x+\sin 2x)\,dx.$$

   Интегрируем:

   $$\frac12\left(-\frac18\cos 8x-\frac12\cos 2x\right)+C=-\frac1{16}\cos 8x-\frac14\cos 2x+C.$$

3. Используем формулу

   $$\sin a\sin b=\frac12\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr).$$

   При $$a=\frac{7x}{3}$$ и $$b=\frac{5x}{3}$$ получаем:

   $$\sin \frac{7x}{3}\sin \frac{5x}{3}=\frac12\left(\cos \frac{2x}{3}-\cos 4x\right).$$

   Тогда

   $$\int \sin \frac{7x}{3}\sin \frac{5x}{3}\,dx=\frac12\int \left(\cos \frac{2x}{3}-\cos 4x\right)\,dx.$$

   Интегрируем:

   $$\frac12\left(\frac32\sin \frac{2x}{3}-\frac14\sin 4x\right)+C=\frac34\sin \frac{2x}{3}-\frac18\sin 4x+C.$$

Ответ

1) $$\frac{x}{2}-\frac14\sin 2x+C$$

2) $$-\frac1{16}\cos 8x-\frac14\cos 2x+C$$

3) $$\frac34\sin \frac{2x}{3}-\frac18\sin 4x+C$$