Упр.10.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 10.10. Функции F_1 и F_2 являются первообразными функции f(x)=1/v(5x-1) на промежутке (1/5; +бесконечность). График функции F_1 проходит через точку M(1; 9), а функции F_2 — через точку N(10; 8). График какой из функций, F_1 или F_2, расположен выше?
Найдём общий вид первообразной для функции
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{5x-1}}, \qquad x\in\left(\frac15;+\infty\right).$$
Положим $$u=5x-1,$$ тогда $$du=5\,dx,$$ и
$$\int \frac{dx}{\sqrt{5x-1}}=\frac15\int u^{-\frac12}\,du=\frac15\cdot 2u^{\frac12}+C=\frac25\sqrt{5x-1}+C.$$
Значит,
$$F(x)=\frac25\sqrt{5x-1}+C.$$
Найдём константы для каждой первообразной.
1) Для $$F_1$$ известно, что график проходит через точку $$M(1;9).$$ Тогда
$$F_1(1)=\frac25\sqrt{5\cdot 1-1}+C=\frac25\cdot 2+C=\frac45+C=9,$$
откуда
$$C=9-\frac45=\frac{41}{5}.$$
Следовательно,
$$F_1(x)=\frac25\sqrt{5x-1}+\frac{41}{5}.$$
2) Для $$F_2$$ известно, что график проходит через точку $$N(10;8).$$ Тогда
$$F_2(10)=\frac25\sqrt{5\cdot 10-1}+C=\frac25\sqrt{49}+C=\frac25\cdot 7+C=\frac{14}{5}+C=8,$$
откуда
$$C=8-\frac{14}{5}=\frac{26}{5}.$$
Следовательно,
$$F_2(x)=\frac25\sqrt{5x-1}+\frac{26}{5}.$$
Сравним значения первообразных:
$$F_1(x)-F_2(x)=\frac{41}{5}-\frac{26}{5}=3>0.$$
Значит, график функции $$F_1$$ расположен выше графика функции $$F_2$$ на всём промежутке.
Ответ
Выше расположен график функции $$F_1.$$
