Упр.1.52 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 1.52. Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a^b — рациональное число?

Рассмотрим числа $$a=\sqrt{2}$$ и $$b=\sqrt{2}.$$ Оба они иррациональны.

Тогда

$$a^b=(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}.$$

Обозначим это число через $$x$$. Если $$x$$ рационально, то требуемые числа найдены. Если же $$x$$ иррационально, то возьмём

$$a=x,\quad b=\sqrt{2}.$$

Тогда

$$a^b=x^{\sqrt{2}}=\left((\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=(\sqrt{2})^{2}=2,$$

а число $$2$$ рационально.

Значит, существуют такие иррациональные числа $$a$$ и $$b,$$ что $$a^b$$ — рациональное число.

Ответ

Да, существуют.