Упр.1.51 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 1.51. Найдите область значений функции y=(3^x)/(3^x-9).

Пусть $$t=3^x.$$ Тогда $$t>0$$, и функция принимает вид

$$y=\frac{t}{t-9}.$$

Выразим $$t$$ через $$y$$:

$$
y(t-9)=t \\
yt-9y=t \\
yt-t=9y \\
t(y-1)=9y \\
t=\frac{9y}{y-1}.
$$

Так как $$t>0$$, то должно выполняться

$$\frac{9y}{y-1}>0.$$

Числитель и знаменатель дроби должны быть одного знака:

1) $$9y>0$$ и $$y-1>0$$, откуда $$y>1$$;

2) $$9y<0$$ и $$y-1<0$$, откуда $$y<0$$.

Значение $$y=0$$ не подходит, а при $$y=1$$ выражение не определено.

Следовательно, область значений функции:

$$E(y)=(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

$$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$