Упр.1.45 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2^(x^2) > cos(x); 2) 2^(-x^2) > x^2+1.

1) Рассмотрим неравенство $$2^{x^2} > \cos x.$$

Так как $$x^2 \ge 0,$$ то $$2^{x^2} \ge 1.$$

Кроме того, $$\cos x \le 1.$$

Следовательно, при всех $$x \ne 0$$ имеем $$2^{x^2} > 1 \ge \cos x,$$ то есть неравенство выполняется.

При $$x=0$$ получаем $$2^{0}=1$$ и $$\cos 0=1,$$ поэтому неравенство не выполняется.

Значит,

$$x \in (-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

2) Рассмотрим неравенство $$2^{-x^2} > x^2+1.$$

Так как $$-x^2 \le 0,$$ то $$2^{-x^2} \le 1.$$

С другой стороны, $$x^2+1 \ge 1.$$

Следовательно, чтобы неравенство могло выполняться, нужно, чтобы обе части были равны $$1$$. Это возможно только при $$x=0$$.

Проверим: $$2^{-0^2}=1,$$ $$0^2+1=1,$$ но требуется строгое неравенство, значит $$x=0$$ не подходит.

Однако при $$x \ne 0$$ левая часть меньше либо равна $$1,$$ а правая больше либо равна $$1,$$ поэтому неравенство невозможно.

Итак, решений нет.

Ответ

1) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; 2) $$\varnothing$$.