Упр.1.44 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2^(x^2) > sin(x); 2) 2^(-x^2) > |sin(x)|+1; 3) 2^(vx) > 1-x^2.

1. $$2^{x^2}\ge \sin x$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$2^{x^2}\ge 1.$$

   Кроме того, $$\sin x\le 1.$$

   Следовательно, неравенство выполняется при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

2. $$2^{-x^2}\ge |\sin x|+1$$

   Так как $$-x^2\le 0,$$ то $$2^{-x^2}\le 1.$$

   С другой стороны, $$|\sin x|\ge 0,$$ значит

   $$|\sin x|+1\ge 1.$$

   Чтобы неравенство было верным, нужно одновременно иметь

   $$2^{-x^2}=1 \quad \text{и} \quad |\sin x|+1=1.$$

   Из $$2^{-x^2}=1$$ получаем $$x=0,$$ а из $$|\sin x|=0$$ также $$x=0.$$

   Значит, решение: $$x=0.$$

3. $$2^{\sqrt{x}}\ge 1-x^2$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   При $$x\ge 0$$ имеем $$\sqrt{x}\ge 0,$$ значит $$2^{\sqrt{x}}\ge 1.$$

   Также при $$x\ge 0$$ выполняется $$1-x^2\le 1.$$

   Следовательно, неравенство верно при всех $$x\ge 0.$$

Ответ

1) $$(-\infty;+\infty)$$; 2) $$\{0\}$$; 3) $$[0;+\infty)$$.