Упр.1.41 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 1.41. Найдите область значений функции f(x)=3^(sin(x)cos(x)).

Преобразуем показатель степени:

$$\sin x \cos x=\frac12\sin 2x.$$

Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то

$$-\frac12\le \sin x\cos x\le \frac12.$$

Функция $$3^t$$ возрастает, значит наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=3^{\sin x\cos x}$$ достигаются на концах найденного промежутка:

$$3^{-1/2}\le 3^{\sin x\cos x}\le 3^{1/2}.$$

Следовательно,

$$\frac1{\sqrt3}\le f(x)\le \sqrt3.$$

Ответ

$$E(f)=\left[\frac1{\sqrt3};\sqrt3\right].$$