Упр.1.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 1.40. Найдите область значений функции f(x)=2^(sin(x)+cos(x))^2.

Преобразуем показатель степени:

$$
(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x.
$$

Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то

$$
0\le 1+\sin 2x\le 2.
$$

Следовательно, показатель степени функции $$f(x)=2^{(\sin x+\cos x)^2}$$ принимает все значения из отрезка $$[0;2].$$

Основание степени больше 1, значит функция $$2^t$$ возрастает. Тогда

$$
2^0\le f(x)\le 2^2,
$$

то есть

$$
1\le f(x)\le 4.
$$

Ответ

$$E(f)=[1;4].$$