Упр.1.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2^(tg(x)) > 0; 2) 2^(arcsin(x)) > -п/4; 3) 2^(arccos(x)) > arccos(x)-п.

1. $$2^{\tg x}>0.$$

   Показательная функция с основанием $$2>0$$ и $$2\neq 1$$ всегда положительна при любых допустимых значениях показателя. Значит, нужно лишь, чтобы был определён $$\tg x$$:

   $$\tg x \in \mathbb{R}, \qquad x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$x \in \mathbb{R},\ x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$2^{\arcsin x} > -\frac{\pi}{4}.$$

   Левая часть всегда положительна:

   $$2^{\arcsin x} > 0.$$

   Так как $$0 > -\frac{\pi}{4},$$ то неравенство выполняется при всех значениях, для которых определён $$\arcsin x$$:

   $$-1 \le x \le 1.$$

3. $$2^{\arccos x} > \arccos x-\pi.$$

   Пусть $$t=\arccos x,$$ тогда $$0 \le t \le \pi.$$ Получаем неравенство

   $$2^t > t-\pi.$$

   При $$0 \le t \le \pi$$ имеем

   $$t-\pi \le 0,$$

   а значит, $$2^t>0>t-\pi.$$ Неравенство верно для всех допустимых $$t$$, то есть для всех $$x$$ из области определения $$\arccos x$$:

   $$-1 \le x \le 1.$$

Ответ

1) $$x \in \mathbb{R},\ x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$[-1;1].$$

3) $$[-1;1].$$