Упр.1.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 5^(v8)/5^(v2)=5^(v2);
2) 4^(v3/2)·(1/8)^(v27)=(16^(v3))^(-2);
3) (12^(v48)·2^(4v12))/(4^(v108)·6^(v27))=6^(v3).

1)

$$\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}}=5^{\sqrt{2}}$$
Так как $$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$, получаем:
$$\frac{5^{2\sqrt{2}}}{5^{\sqrt{2}}}=5^{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}=5^{\sqrt{2}}.$$
Равенство доказано.

2)

$$4^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\left(\frac18\right)^{\sqrt{27}}=\left(16^{\sqrt{3}}\right)^{-2}$$
Преобразуем основания:
$$4=2^2,\quad \frac18=2^{-3},\quad 16=2^4,\quad \sqrt{27}=3\sqrt{3}.$$
Тогда
$$4^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\left(\frac18\right)^{\sqrt{27}}=(2^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot(2^{-3})^{3\sqrt{3}}=2^{\sqrt{3}}\cdot 2^{-9\sqrt{3}}=2^{-8\sqrt{3}}.$$
Правая часть:
$$\left(16^{\sqrt{3}}\right)^{-2}=\left((2^4)^{\sqrt{3}}\right)^{-2}=2^{4\sqrt{3}\cdot(-2)}=2^{-8\sqrt{3}}.$$
Следовательно, равенство верно.

3)

$$\frac{12^{\sqrt{48}}\cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}}\cdot 6^{\sqrt{27}}}=6^{\sqrt{3}}$$
Представим всё через простые множители:
$$12=2^2\cdot 3,\quad 4=2^2,\quad 6=2\cdot 3,$$
$$\sqrt{48}=4\sqrt{3},\quad \sqrt{12}=2\sqrt{3},\quad \sqrt{108}=6\sqrt{3},\quad \sqrt{27}=3\sqrt{3}.$$
Тогда
$$12^{\sqrt{48}}=(2^2\cdot 3)^{4\sqrt{3}}=2^{8\sqrt{3}}\cdot 3^{4\sqrt{3}},$$
$$2^{4\sqrt{12}}=2^{8\sqrt{3}},$$
$$4^{\sqrt{108}}=(2^2)^{6\sqrt{3}}=2^{12\sqrt{3}},$$
$$6^{\sqrt{27}}=(2\cdot 3)^{3\sqrt{3}}=2^{3\sqrt{3}}\cdot 3^{3\sqrt{3}}.$$
Подставим:
$$\frac{2^{8\sqrt{3}}\cdot 3^{4\sqrt{3}}\cdot 2^{8\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}}\cdot 2^{3\sqrt{3}}\cdot 3^{3\sqrt{3}}}
=2^{16\sqrt{3}-15\sqrt{3}}\cdot 3^{4\sqrt{3}-3\sqrt{3}}
=2^{\sqrt{3}}\cdot 3^{\sqrt{3}}=(2\cdot 3)^{\sqrt{3}}=6^{\sqrt{3}}.$$
Равенство доказано.

Ответ

Все три равенства верны.