Упр.1.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (a^(2v6)-1)(a^(v6)+a^(2v6)+a^(3v6))/(a^(4v6)-a^(v6));
2) ((a^п+b^п)^2-(a^п-b^п)^2)^(1/п).

Подробный ответ

1) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$
\frac{(a^{2\sqrt6}-1)(a^{\sqrt6}+a^{2\sqrt6}+a^{3\sqrt6})}{a^{4\sqrt6}-a^{\sqrt6}}
=
\frac{(a^{\sqrt6}-1)(a^{\sqrt6}+1)\cdot a^{\sqrt6}(1+a^{\sqrt6}+a^{2\sqrt6})}{a^{\sqrt6}(a^{3\sqrt6}-1)}.
$$

Сократим на $$a^{\sqrt6}$$ и используем формулу $$a^{3}-1=(a-1)(a^2+a+1)$$:

$$
\frac{(a^{\sqrt6}-1)(a^{\sqrt6}+1)(1+a^{\sqrt6}+a^{2\sqrt6})}{a^{3\sqrt6}-1}
=
\frac{(a^{\sqrt6}+1)(a^{3\sqrt6}-1)}{a^{3\sqrt6}-1}
=
a^{\sqrt6}+1.
$$

2) Раскроем скобки по формуле разности квадратов:

$$
(a^n+b^n)^2-(a^n-b^n)^2
=
(a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n})-(a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n})
=
4a^nb^n.
$$

Тогда

$$
\left((a^n+b^n)^2-(a^n-b^n)^2\right)^{\frac1n}
=
(4a^nb^n)^{\frac1n}
=
4^{\frac1n}ab.
$$