Задания Кто хочет знать больше ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

2. Пусть D(х) — дисперсия случайной величины х и с — константа. Докажите, что D(x+c)=D(x).
3. Пусть случайная величинах x имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. Докажите, что M(x)=np, D(x)=np(1-p).
4. Вероятность события А в некотором испытании равна р. Проводят серию из n таких испытаний и подсчитывают частоту x_n=x_A/n события А. где n_A — число испытаний в этой серии, в которых произошло событие A. Докажите, что M(x_n)=p, D(x_n)=p(1-p)/n.
1. Монету подбрасывают дважды. Случайная величина х равна количеству выпавших при этом гербов. Найдите:
1) распределение случайной величины х;
2) распределение случайной величины x^2:
3) распределение случайной величины z=x+x^2.
2. Монету и кубик подбрасывают одновременно. Случайная величинах равна числу, выпавшему на кубике, а случайная величина у равна 1, если монета выпала кверху гербом, и 0, если числом. Найдите:
1) распределение случайной величины х;
2) распределение случайной величины у;
3) распределение случайной величины z=xy.
1. В условиях задачи о турнире Лиги чемпионов найдите распределение суммы случайных величин x и у.
2. Туристическая фирма проводит акцию «Выбери цену сам!». Клиенту, планирующему купить путёвку, предлагается независимо вытянуть два билета: первый — с величиной ежедневной скидки за путевку, второй — с количеством дней, в течение которых будет действовать эта скидка. Найдите вероятность того, что туристическая фирма предоставит клиенту скидку на общую сумму 4000 р.
1. Найдите дисперсии случайных величин х и у, рассмотренных в примере о безопасности автомобиля.
2. Найдите дисперсию числа очков, выпадающих при бросании игрального кубика.
3. Пусть случайная величина x имеет распределение Бернулли:
Докажите, что M(x)=p, D(x)=p(1-p).
1. О случайной величине х известно, что M(x)=5, D(x)=3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
1) y=2x; 2) z=-x; 3) t=x/3.
2. На карте с масштабом 1 : 10 000 линейкой измеряют расстояние между точками А и В. Случайная величина х равна измеренному расстоянию (в сантиметрах). Известно, что M(x)=7, D(x)=0,1. Оцените расстояние на местности между пунктами A и В (в метрах). Чему равна дисперсия величины, равной вычисленному расстоянию между пунктами A и В на местности?

1. По определению дисперсии:

   $$D(x)=M\bigl((x-M(x))^2\bigr).$$

   Раскроем квадрат:

   $$
   D(x)=M\bigl(x^2-2xM(x)+(M(x))^2\bigr).
   $$

   Используя линейность математического ожидания, получаем:

   $$
   D(x)=M(x^2)-2M(x)\cdot M(x)+(M(x))^2=M(x^2)-(M(x))^2.
   $$

2. Для константы $c$:

   $$
   D(x+c)=M\bigl((x+c-M(x+c))^2\bigr).
   $$

   Так как $M(x+c)=M(x)+c$, то

   $$
   D(x+c)=M\bigl((x-M(x))^2\bigr)=D(x).
   $$

3. Пусть $x$ — биномиальная случайная величина с параметрами $n$ и $p$. Тогда $x=y_1+y_2+\dots+y_n$, где $y_i$ — величина в одном испытании Бернулли.

   Для каждого $y_i$:

   $$M(y_i)=p,\qquad D(y_i)=p(1-p).$$

   Следовательно,

   $$
   M(x)=M(y_1+\dots+y_n)=M(y_1)+\dots+M(y_n)=np,
   $$

   $$
   D(x)=D(y_1+\dots+y_n)=D(y_1)+\dots+D(y_n)=np(1-p).
   $$

4. Пусть $x_n=\dfrac{x_A}{n}$ — частота события $A$ в серии из $n$ испытаний. Тогда $x_A$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$.

   Поэтому

   $$
   M(x_n)=M\left(\frac{x_A}{n}\right)=\frac{1}{n}M(x_A)=\frac{1}{n}\cdot np=p,
   $$

   $$
   D(x_n)=D\left(\frac{x_A}{n}\right)=\frac{1}{n^2}D(x_A)=\frac{1}{n^2}\cdot np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}.
   $$

Ответ

$$D(x)=M(x^2)-(M(x))^2;$$

$$D(x+c)=D(x);$$

$$M(x)=np,\quad D(x)=np(1-p);$$

$$M(x_n)=p,\quad D(x_n)=\frac{p(1-p)}{n}.$$