Упр.9.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 9.7. Проверьте, что функция F(x)=(x-2)/(3x-1) является первообразной функции f(x)=5/(3x-1)^2 на каждом из промежутков (-?; 1/3) и (1/3; +?), и запишите общий вид первообразных функции f на каждом из указанных промежутков.

Найдём производную функции $$F(x)=\frac{x-2}{3x-1}$$ по правилу производной частного:

$$
F'(x)=\frac{(3x-1)\cdot 1-(x-2)\cdot 3}{(3x-1)^2}
$$
$$
F'(x)=\frac{3x-1-3x+6}{(3x-1)^2}
=\frac{5}{(3x-1)^2}
$$

Получили $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)=\frac{5}{(3x-1)^2}$$ на каждом из промежутков, где она определена:

$$
(-\infty;\tfrac13)\quad \text{и}\quad (\tfrac13;+\infty).
$$

Общий вид первообразных на каждом из этих промежутков:

$$
\frac{x-2}{3x-1}+C,\quad C\in\mathbb{R}.
$$

Ответ

$$
F(x)=\frac{x-2}{3x-1}+C,\quad C\in\mathbb{R},
$$
на промежутках $$(-\infty;\tfrac13)$$ и $$(\tfrac13;+\infty).$$