Упр.9.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) F(x)=x^4-2x^2+6, f(x)=4x^3-4x, I=(-?; +?);
2) F(x)=1/x^3, f(x)=-3/x^4, I=(-?; 0);
3) F(x)=5-3vx, f(x)=-3/(2vx), I=(0; +?);
4) F(x)=3tg(x/3)+6, f(x)=1/cos^2(x/3), I=(-3?/2; 3?/2).

1. Найдём производную функции $$F(x)=x^4-2x^2+6$$:

   $$F'(x)=4x^3-4x.$$

   Так как $$F'(x)=f(x)$$, то $$F$$ является первообразной функции $$f$$ на любом промежутке, в частности на $$I=(-\infty;+\infty).$$

2. Для $$F(x)=\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$$ имеем:

   $$F'(x)=(x^{-3})’=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}.$$

   Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$ на промежутке $$I=(-\infty;0).$$

3. Пусть $$F(x)=5-3\sqrt{x}.$$ Тогда на промежутке $$I=(0;+\infty)$$:

   $$F'(x)=0-3\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=-\dfrac{3}{2\sqrt{x}}.$$

   Значит, $$F'(x)=f(x)$$, и функция $$F$$ является первообразной функции $$f$$ на $$I=(0;+\infty).$$

4. Для $$F(x)=3\tg \dfrac{x}{3}+6$$ найдём производную:

   $$F'(x)=3\left(\tg \dfrac{x}{3}\right)’=3\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 \dfrac{x}{3}}=\dfrac{1}{\cos^2 \dfrac{x}{3}}.$$

   Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$ на промежутке $$I=\left(-\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right).$$

Ответ

Во всех четырёх пунктах $$F'(x)=f(x)$$ на указанном промежутке, значит, $$F$$ является первообразной функции $$f$$.