Упр.9.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 9.17. Решите уравнение 3x/(x^3-1)-5/(4x^2+4x+4)=1/(2(1-x)).

ОДЗ: $$x^3-1 \ne 0,$$ $$4x^2+4x+4 \ne 0,$$ $$2(1-x)\ne 0.$$

Так как $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$$ а $$4x^2+4x+4=4(x^2+x+1),$$ то уравнение можно записать так:

$$\frac{3x}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{5}{4(x^2+x+1)}=\frac{1}{2(1-x)}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3x}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{5}{4(x^2+x+1)}+\frac{1}{2(x-1)}=0.$$

Умножим обе части на $$4(x-1)(x^2+x+1)$$:

$$12x-5(x-1)+2(x^2+x+1)=0.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$12x-5x+5+2x^2+2x+2=0,$$

$$2x^2+9x+7=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 7=81-56=25.$$

$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 5}{2\cdot 2}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{-9-5}{4}=-\frac{7}{2}, \qquad x_2=\frac{-9+5}{4}=-1.$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

$$-\frac{7}{2};\ -1.$$