Упр.9.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 9.14. Для функции f(x)=sin^2(x/2)-cos^2(x/2) найдите какие-нибудь две первообразные, расстояние между соответствующими точками которых (т. е. точками с равными абсциссами) равно 2.

Преобразуем функцию:

$$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=-\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=-\cos x.$$

Тогда первообразная для этой функции имеет вид:

$$F(x)=\int -\cos x\,dx=-\sin x+C.$$

Возьмём две первообразные:

$$F_1(x)=-\sin x+C_1,\qquad F_2(x)=-\sin x+C_2.$$

Точки этих графиков с одинаковыми абсциссами отличаются только по ординате, поэтому расстояние между ними равно

$$|F_1(x)-F_2(x)|=|C_1-C_2|.$$

По условию это расстояние равно $2$, значит

$$|C_1-C_2|=2.$$

Можно, например, взять $C_1=4$ и $C_2=6$.

Тогда искомые первообразные:

$$y=-\sin x+4,\qquad y=-\sin x+6.$$

Ответ

$$y=-\sin x+4;\quad y=-\sin x+6.$$