Упр.8.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=log_9 x; 6) y=ln x/x^3;
2) y=ln (2x); 7) y=log_0,2 (2x^2+x-4);
3) y=lg (x^2-4); 8) y=ln (1-0,2x);
4) y=ln^2 x; 9) y=x^5 ln x.
5) y=ln sin(x);

1. $$y=\log_9 x$$

   Используем формулу:

   $$\left(\log_a x\right)’=\frac{1}{x\ln a}$$

   Тогда

   $$y’=\frac{1}{x\ln 9}.$$

2. $$y=\ln(2x)$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=\frac{(2x)’}{2x}=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.$$

3. $$y=\lg(x^2-4)$$

   Используем формулу:

   $$\left(\lg u\right)’=\frac{u’}{u\ln 10}$$

   где $$u=x^2-4$$, тогда $$u’=2x$$. Получаем:

   $$y’=\frac{2x}{(x^2-4)\ln 10}.$$

4. $$y=\ln^2 x$$

   Это означает $$y=(\ln x)^2$$. Тогда

   $$y’=2\ln x\cdot \frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.$$

5. $$y=\ln(\sin x)$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=\frac{(\sin x)’}{\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\ctg x.$$

6. $$y=\frac{\ln x}{x^3}$$

   Применим правило производной частного:

   $$y’=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^3-\ln x\cdot 3x^2}{x^6}$$
   $$y’=\frac{x^2(1-3\ln x)}{x^6}=\frac{1-3\ln x}{x^4}.$$

7. $$y=\log_{0,2}(2x^2+x-4)$$

   Используем формулу:

   $$\left(\log_a u\right)’=\frac{u’}{u\ln a}$$

   где $$u=2x^2+x-4$$, тогда $$u’=4x+1$$. Получаем:

   $$y’=\frac{4x+1}{(2x^2+x-4)\ln 0,2}.$$

8. $$y=\ln(1-0,2x)$$

   Тогда

   $$y’=\frac{-0,2}{1-0,2x}.$$

   Упростим:

   $$y’=\frac{1}{x-5}.$$

9. $$y=x^5\ln x$$

   Применим правило производной произведения:

   $$y’=(x^5)’\ln x+x^5(\ln x)’$$
   $$y’=5x^4\ln x+x^5\cdot \frac{1}{x}$$
   $$y’=x^4(5\ln x+1).$$

Ответ

1. $$y’=\frac{1}{x\ln 9}$$
2. $$y’=\frac{1}{x}$$
3. $$y’=\frac{2x}{(x^2-4)\ln 10}$$
4. $$y’=\frac{2\ln x}{x}$$
5. $$y’=\ctg x$$
6. $$y’=\frac{1-3\ln x}{x^4}$$
7. $$y’=\frac{4x+1}{(2x^2+x-4)\ln 0,2}$$
8. $$y’=\frac{1}{x-5}$$
9. $$y’=x^4(5\ln x+1)$$