Упр.8.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=x/e^x; 2) f(x)=xe^(-x^2/2); 3) f(x)=log_2(x^2+x).

1. $$f(x)=\dfrac{x}{e^x}=xe^{-x}$$

   $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$

   $$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$$

   Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется выражением $$1-x$$. Поэтому

   $$f'(x)>0 \text{ при } x<1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>1.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$.

   В точке $$x=1$$ достигается максимум:

   $$f(1)=\dfrac{1}{e}.$$

   Найдём несколько значений:

   $$f(0)=0,\qquad f(-1)=-e.$$

   При $$x\to+\infty$$ имеем $$\dfrac{x}{e^x}\to 0$$, значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота справа.

   Область значений:

   $$E(f)=(-\infty;\dfrac{1}{e}]$$

2. $$f(x)=xe^{-x^2/2}$$

   $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$

   $$f'(x)=e^{-x^2/2}+x\cdot e^{-x^2/2}\cdot(-x)=e^{-x^2/2}(1-x^2)$$

   Так как $$e^{-x^2/2}>0$$, то

   $$f'(x)>0 \text{ при } -1<x<1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1.$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$, возрастает на $$[-1;1]$$.

   Экстремумы:

   $$f(-1)=-e^{-1/2}=-\dfrac{1}{\sqrt e},\qquad f(1)=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt e}.$$

   Функция нечётная, так как

   $$f(-x)=-xe^{-x^2/2}=-f(x).$$

   Также $$f(0)=0$$.

   Область значений:

   $$E(f)=\left[-\dfrac{1}{\sqrt e};\dfrac{1}{\sqrt e}\right]$$

3. $$f(x)=\log_2(x^2+x)=\log_2\bigl(x(x+1)\bigr)$$

   Для области определения нужно:

   $$x^2+x>0$$

   $$x(x+1)>0$$

   Отсюда

   $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).$$

   Производная:

   $$f'(x)=\dfrac{2x+1}{(x^2+x)\ln 2}$$

   На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$2x+1$$.

   На промежутке $$(-\infty;-1)$$ имеем $$2x+1<0$$, значит, функция убывает.

   На промежутке $$ (0;+\infty)$$ имеем $$2x+1>0$$, значит, функция возрастает.

   Найдём удобные точки:

   $$f(-2)=\log_2 2=1,\qquad f(1)=\log_2 2=1.$$

   При $$x\to-1-$$ и $$x\to0+$$ аргумент логарифма стремится к нулю, поэтому $$f(x)\to-\infty$$.

   Область значений:

   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ

1. $$D(f)=(-\infty;+\infty),\; \text{возрастает на }(-\infty;1],\; \text{убывает на }[1;+\infty),\; f_{\max}=\dfrac1e,\; E(f)=(-\infty;\dfrac1e].$$
2. $$D(f)=(-\infty;+\infty),\; \text{убывает на }(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),\; \text{возрастает на }[-1;1],\; E(f)=\left[-\dfrac1{\sqrt e};\dfrac1{\sqrt e}\right].$$
3. $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(0;+\infty),\; \text{убывает на }(-\infty;-1),\; \text{возрастает на }(0;+\infty),\; E(f)=(-\infty;+\infty).$$