Упр.8.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=xe^x; 3) f(x)=e^(-x^2); 5) f(x)=ln (9-x^2).
2) f(x)=xe^(-x/2); 4) f(x)=x^2-2ln x;

1. 1) $$f(x)=xe^x$$

   $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$

   $$f'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)$$

   Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, то $$f'(x)=0$$ при $$x=-1$$.

   Знак производной:

   $$f'(x)<0$$ при $$x<-1,\qquad f'(x)>0$$ при $$x>-1$$.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$.

   Минимум достигается при $$x=-1$$:

   $$f(-1)=-\frac{1}{e}$$

   $$E(y)=\left[-\frac{1}{e};+\infty\right)$$

   Для построения отметим точки: $$f(0)=0$$, $$f(1)=e$$.

2. 2) $$f(x)=xe^{-x/2}$$

   $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$

   $$f'(x)=e^{-x/2}-\frac{x}{2}e^{-x/2}=e^{-x/2}\left(1-\frac{x}{2}\right)$$

   Так как $$e^{-x/2}>0$$, то $$f'(x)=0$$ при $$x=2$$.

   $$f'(x)>0$$ при $$x<2,\qquad f'(x)<0$$ при $$x>2$$.

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$.

   Максимум:

   $$f(2)=2e^{-1}=\frac{2}{e}$$

   $$E(y)=\left(-\infty;\frac{2}{e}\right]$$

   Для построения отметим точки: $$f(0)=0$$, $$f(-2)=-2e$$.

3. 3) $$f(x)=e^{-x^2}$$

   $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$

   $$f'(x)=-2xe^{-x^2}$$

   Так как $$e^{-x^2}>0$$, то $$f'(x)=0$$ при $$x=0$$.

   $$f'(x)>0$$ при $$x<0,\qquad f'(x)<0$$ при $$x>0$$.

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty)$$.

   Максимум:

   $$f(0)=1$$

   Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.

   $$E(y)=(0;1]$$

   Для построения отметим точки: $$f(1)=\frac{1}{e}$$, $$f(2)=\frac{1}{e^4}$$.

4. 4) $$f(x)=x^2-2\ln x$$

   Так как есть логарифм, то

   $$D(x)=(0;+\infty)$$

   $$f'(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}$$

   При $$x>0$$ знак производной определяется выражением $$x^2-1$$:

   $$f'(x)<0$$ при $$0<x<1,\qquad f'(x)>0$$ при $$x>1$$.

   Значит, функция убывает на $$ (0;1] $$ и возрастает на $$ [1;+\infty) $$.

   Минимум:

   $$f(1)=1-2\ln 1=1$$

   $$E(y)=[1;+\infty)$$

   Для построения отметим точки: $$f(e)=e^2-2$$, $$f(e^2)=e^4-4$$.

5. 5) $$f(x)=\ln(9-x^2)$$

   Для области определения нужно:

   $$9-x^2>0$$

   $$x^2<9,\qquad -3<x<3$$

   $$D(x)=(-3;3)$$

   $$f'(x)=\frac{-2x}{9-x^2}$$

   На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

   $$f'(x)>0$$ при $$x<0,\qquad f'(x)<0$$ при $$x>0$$.

   Следовательно, функция возрастает на $$(-3;0]$$ и убывает на $$[0;3)$$.

   Максимум:

   $$f(0)=\ln 9$$

   Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.

   $$E(y)=(-\infty;\ln 9]$$

   Для построения отметим точки: $$f(1)=\ln 8$$, $$f(2)=\ln 5$$.

Ответ

1) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$, минимум $$-\frac{1}{e}$$, $$E(y)=\left[-\frac{1}{e};+\infty\right)$$.
2) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$, максимум $$\frac{2}{e}$$, $$E(y)=\left(-\infty;\frac{2}{e}\right]$$.
3) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty)$$, максимум $$1$$, $$E(y)=(0;1]$$.
4) $$D(x)=(0;+\infty)$$, убывает на $$ (0;1] $$, возрастает на $$ [1;+\infty) $$, минимум $$1$$, $$E(y)=[1;+\infty)$$.
5) $$D(x)=(-3;3)$$, возрастает на $$(-3;0]$$, убывает на $$[0;3)$$, максимум $$\ln 9$$, $$E(y)=(-\infty;\ln 9]$$.