Упр.8.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=(x-1)e^(-x) на промежутке [1; 3];
2) f(x)=5^(x^2+2x) на промежутке [-2; 1].

1. $$f(x)=(x-1)e^{-x}, \quad x\in[1;3].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=e^{-x}-(x-1)e^{-x}=e^{-x}(2-x).$$

   Так как $$e^{-x}>0$$ при любых $$x$$, то знак производной определяется множителем $$2-x$$:

   $$f'(x)\ge 0 \iff 2-x\ge 0 \iff x\le 2.$$

   Значит, на отрезке $$[1;3]$$ функция возрастает на $$[1;2]$$ и убывает на $$[2;3]$$. Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=2$$, а наименьшее — на концах отрезка.

   Вычислим значения функции:

   $$f(1)=(1-1)e^{-1}=0,$$

   $$f(2)=(2-1)e^{-2}=\frac{1}{e^2},$$

   $$f(3)=(3-1)e^{-3}=\frac{2}{e^3}.$$

   Сравнивая полученные значения, получаем:

   $$f_{\max}=\frac{1}{e^2}, \qquad f_{\min}=0.$$

2. $$f(x)=5^{x^2+2x}, \quad x\in[-2;1].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(2x+2)\cdot 5^{x^2+2x}\ln 5.$$

   Так как $$5^{x^2+2x}>0$$ и $$\ln 5>0$$, то знак производной определяется множителем $$2x+2$$:

   $$f'(x)\ge 0 \iff 2x+2\ge 0 \iff x\ge -1.$$

   Значит, на отрезке $$[-2;1]$$ функция убывает на $$[-2;-1]$$ и возрастает на $$[-1;1]$$. Следовательно, наименьшее значение достигается при $$x=-1$$, а наибольшее — на концах отрезка.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-2)=5^{(-2)^2+2\cdot(-2)}=5^0=1,$$

   $$f(-1)=5^{(-1)^2+2\cdot(-1)}=5^{-1}=\frac{1}{5},$$

   $$f(1)=5^{1^2+2\cdot1}=5^3=125.$$

   Следовательно,

   $$f_{\max}=125, \qquad f_{\min}=\frac{1}{5}.$$

Ответ

1) $$f_{\max}=\frac{1}{e^2}, \ f_{\min}=0.$$

2) $$f_{\max}=125, \ f_{\min}=\frac{1}{5}.$$