Упр.8.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=xe^(x/2); 7) f(x)=0,5x^2-ln x;
2) f(x)=e^(x^4-2x^2); 8) f(x)=xln^2 x;
3) f(x)=5^(-x^3+3x+1); 9) f(x)=ln x/x;
4) f(x)=(4x-1)e^(2x); 10) f(x)=ln x^2+2/x;
5) f(x)=x^3·3^(-x); 11) f(x)=ln^3 x-12ln x;
6) f(x)=(x+3)/e^x; 12) f(x)=lg^4 x-2lg^2 x.

1. $$f(x)=xe^{x/2}$$

   $$f'(x)=e^{x/2}+x\cdot \frac12 e^{x/2}=e^{x/2}\left(1+\frac x2\right)$$

   Так как $$e^{x/2}>0$$, то знак производной определяется выражением $$1+\frac x2$$.

   $$1+\frac x2=0 \;\Rightarrow\; x=-2$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\,-2]$$ и возрастает на $$[-2;\,+\infty)$$.

   В точке $$x=-2$$ — минимум.

2. $$f(x)=e^{x^4-2x^2}$$

   $$f'(x)=(4x^3-4x)e^{x^4-2x^2}=4x(x^2-1)e^{x^4-2x^2}$$

   Так как $$e^{x^4-2x^2}>0$$, исследуем знак $$4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$.

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.

   Знаки производной дают:

   функция возрастает на $$[-1;\,0] \cup [1;\,+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;\,-1] \cup [0;\,1]$$.

   В точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ — минимумы, в точке $$x=0$$ — максимум.

3. $$f(x)=5^{-x^3+3x+1}$$

   $$f'(x)=(-3x^2+3)\,5^{-x^3+3x+1}\ln 5$$

   Так как $$5^{-x^3+3x+1}>0$$ и $$\ln 5>0$$, то знак производной определяется выражением $$-3x^2+3=3(1-x^2)$$.

   $$1-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 1$$

   Функция возрастает на $$[-1;\,1]$$ и убывает на $$(-\infty;\,-1] \cup [1;\,+\infty)$$.

   В точке $$x=-1$$ — минимум, в точке $$x=1$$ — максимум.

4. $$f(x)=(4x-1)e^{2x}$$

   $$f'(x)=4e^{2x}+(4x-1)\cdot 2e^{2x}=2e^{2x}(4x+1)$$

   Так как $$e^{2x}>0$$, то

   $$4x+1=0 \;\Rightarrow\; x=-\frac14$$

   Функция убывает на $$(-\infty;\,-\frac14]$$ и возрастает на $$[-\frac14;\,+\infty)$$.

   В точке $$x=-\frac14$$ — минимум.

5. $$f(x)=x^3\cdot 3^{-x}$$

   $$f'(x)=3x^2\cdot 3^{-x}-x^3\cdot 3^{-x}\ln 3=x^2\cdot 3^{-x}(3-x\ln 3)$$

   Так как $$x^2\cdot 3^{-x}\ge 0$$, знак производной определяется выражением $$3-x\ln 3$$.

   $$3-x\ln 3=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{3}{\ln 3}$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;\,\frac{3}{\ln 3}]$$ и убывает на $$[\frac{3}{\ln 3};\,+\infty)$$.

   В точке $$x=\frac{3}{\ln 3}$$ — максимум.

6. $$f(x)=\frac{x+3}{e^x}$$

   $$f'(x)=\frac{e^x-(x+3)e^x}{e^{2x}}=\frac{-(x+2)e^x}{e^{2x}}=-\frac{x+2}{e^x}$$

   Так как $$e^x>0$$, то

   $$f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=-2$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;\,-2]$$ и убывает на $$[-2;\,+\infty)$$.

   В точке $$x=-2$$ — максимум.

7. $$f(x)=0{,}5x^2-\ln x,\qquad x>0$$

   $$f'(x)=x-\frac1x=\frac{x^2-1}{x}$$

   При $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x^2-1$$.

   $$x^2-1=0 \;\Rightarrow\; x=1$$

   Функция убывает на $$(0;\,1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty)$$.

   В точке $$x=1$$ — минимум.

8. $$f(x)=x\ln^2 x,\qquad x>0$$

   $$f'(x)=\ln^2 x+2\ln x=\ln x(\ln x+2)$$

   Критические точки:

   $$\ln x=0 \Rightarrow x=1,\qquad \ln x+2=0 \Rightarrow x=e^{-2}=\frac1{e^2}$$

   Функция возрастает на $$(0;\,\frac1{e^2}] \cup [1;\,+\infty)$$ и убывает на $$[\frac1{e^2};\,1]$$.

   В точке $$x=\frac1{e^2}$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.

9. $$f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0$$

   $$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$$

   Так как $$x^2>0$$, то

   $$1-\ln x=0 \;\Rightarrow\; x=e$$

   Функция возрастает на $$(0;\,e]$$ и убывает на $$[e;\,+\infty)$$.

   В точке $$x=e$$ — максимум.

10. $$f(x)=\ln x^2+\frac{2}{x},\qquad x\ne 0$$

    $$f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}=\frac{2x-2}{x^2}=\frac{2(x-1)}{x^2}$$

    Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется выражением $$x-1$$.

    $$x-1=0 \;\Rightarrow\; x=1$$

    Функция убывает на $$(-\infty;\,0) \cup (0;\,1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty)$$.

    В точке $$x=1$$ — минимум.

11. $$f(x)=\ln^3 x-12\ln x,\qquad x>0$$

    $$f'(x)=\frac{3\ln^2 x-12}{x}=\frac{3(\ln^2 x-4)}{x}=\frac{3(\ln x-2)(\ln x+2)}{x}$$

    Критические точки:

    $$\ln x=-2 \Rightarrow x=e^{-2}=\frac1{e^2},\qquad \ln x=2 \Rightarrow x=e^2$$

    Функция возрастает на $$(0;\,\frac1{e^2}] \cup [e^2;\,+\infty)$$ и убывает на $$[\frac1{e^2};\,e^2]$$.

    В точке $$x=\frac1{e^2}$$ — максимум, в точке $$x=e^2$$ — минимум.

12. $$f(x)=\lg^4 x-2\lg^2 x,\qquad x>0$$

    $$f'(x)=\frac{4\lg^3 x}{x}-\frac{4\lg x}{x}=\frac{4\lg x(\lg^2 x-1)}{x}=\frac{4\lg x(\lg x-1)(\lg x+1)}{x}$$

    Критические точки:

    $$\lg x=-1 \Rightarrow x=0{,}1,\qquad \lg x=0 \Rightarrow x=1,\qquad \lg x=1 \Rightarrow x=10$$

    Функция возрастает на $$[0{,}1;\,1] \cup [10;\,+\infty)$$ и убывает на $$(0;\,0{,}1] \cup [1;\,10]$$.

    В точке $$x=0{,}1$$ — минимум, в точке $$x=1$$ — максимум, в точке $$x=10$$ — минимум.

Ответ

1. Возрастает на $$[-2;\,+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;\,-2]$$; $$x_{\min}=-2$$.
2. Возрастает на $$[-1;\,0] \cup [1;\,+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;\,-1] \cup [0;\,1]$$; $$x_{\min}=-1,\; x_{\min}=1,\; x_{\max}=0$$.
3. Возрастает на $$[-1;\,1]$$, убывает на $$(-\infty;\,-1] \cup [1;\,+\infty)$$; $$x_{\min}=-1,\; x_{\max}=1$$.
4. Возрастает на $$[-\frac14;\,+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;\,-\frac14]$$; $$x_{\min}=-\frac14$$.
5. Возрастает на $$(-\infty;\,\frac{3}{\ln 3}]$$, убывает на $$[\frac{3}{\ln 3};\,+\infty)$$; $$x_{\max}=\frac{3}{\ln 3}$$.
6. Возрастает на $$(-\infty;\,-2]$$, убывает на $$[-2;\,+\infty)$$; $$x_{\max}=-2$$.
7. Убывает на $$(0;\,1]$$, возрастает на $$[1;\,+\infty)$$; $$x_{\min}=1$$.
8. Возрастает на $$(0;\,\frac1{e^2}] \cup [1;\,+\infty)$$, убывает на $$[\frac1{e^2};\,1]$$; $$x_{\max}=\frac1{e^2},\; x_{\min}=1$$.
9. Возрастает на $$(0;\,e]$$, убывает на $$[e;\,+\infty)$$; $$x_{\max}=e$$.
10. Убывает на $$(-\infty;\,0) \cup (0;\,1]$$, возрастает на $$[1;\,+\infty)$$; $$x_{\min}=1$$.
11. Возрастает на $$(0;\,\frac1{e^2}] \cup [e^2;\,+\infty)$$, убывает на $$[\frac1{e^2};\,e^2]$$; $$x_{\max}=\frac1{e^2},\; x_{\min}=e^2$$.
12. Возрастает на $$[0{,}1;\,1] \cup [10;\,+\infty)$$, убывает на $$(0;\,0{,}1] \cup [1;\,10]$$; $$x_{\min}=0{,}1,\; x_{\max}=1,\; x_{\min}=10$$.