Упр.8.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=e^x-x; 10) f(x)=x^3 ln x;
2) f(x)=x e^(2x); 11) f(x)=ln x-x;
3) f(x)=(1-x)e^(x+1); 12) f(x)=x^2 lg x;
4) f(x)=x^2·2^(-x); 13) f(x)=ln x+1/x;
5) f(x)=4xe^(2-x); 14) f(x)=x/ln x;
6) f(x)=e^x^2; 15) f(x)=ln x/vx;
7) f(x)=e^(4x-x^2+1); 16) f(x)=x^2-ln x^2;
8) f(x)=e^x/(x-2); 17) f(x)=2ln^3 x-3ln^2 x;
9) f(x)=4x/e^x; 18) f(x)=lg^2 x-lg x.
1) $$f(x)=e^x-x$$
$$f'(x)=e^x-1$$
$$f'(x)=0 \iff e^x=1 \iff x=0.$$
При $$x<0$$ имеем $$e^x<1,$$ значит $$f'(x)<0.$$ При $$x>0$$ имеем $$e^x>1,$$ значит $$f'(x)>0.$$
Функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ — минимум.
2) $$f(x)=xe^{2x}$$
$$f'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}(1+2x)$$
Так как $$e^{2x}>0,$$ то знак производной определяется выражением $$1+2x.$$
$$f'(x)=0 \iff 1+2x=0 \iff x=-\frac12.$$
Функция убывает на $$(-\infty;-\frac12]$$ и возрастает на $$[-\frac12;+\infty).$$
В точке $$x=-\frac12$$ — минимум.
3) $$f(x)=(1-x)e^{x+1}$$
$$f'(x)=-e^{x+1}+(1-x)e^{x+1}=-xe^{x+1}$$
Так как $$e^{x+1}>0,$$ то $$f'(x)>0$$ при $$x<0$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>0.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ — максимум.
4) $$f(x)=x^2\cdot 2^{-x}$$
$$f'(x)=2x\cdot 2^{-x}-x^2\cdot 2^{-x}\ln 2=2^{-x}x(2-x\ln 2)$$
Так как $$2^{-x}>0,$$ то
$$f'(x)=0 \iff x=0 \text{ или } x=\frac{2}{\ln 2}.$$
Функция убывает на $$(-\infty;0] \cup \left[\frac{2}{\ln 2};+\infty\right),$$ возрастает на $$\left[0;\frac{2}{\ln 2}\right].$$
В точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=\frac{2}{\ln 2}$$ — максимум.
5) $$f(x)=4xe^{2-x}$$
$$f'(x)=4e^{2-x}-4xe^{2-x}=4e^{2-x}(1-x)$$
$$f'(x)=0 \iff x=1.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ — максимум.
6) $$f(x)=e^{x^2}$$
$$f'(x)=2xe^{x^2}$$
Так как $$e^{x^2}>0,$$ то $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>0.$$
Функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
В точке $$x=0$$ — минимум.
7) $$f(x)=e^{4x-x^2+1}$$
$$f'(x)=(4-2x)e^{4x-x^2+1}$$
$$f'(x)=0 \iff x=2.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty).$$
В точке $$x=2$$ — максимум.
8) $$f(x)=\frac{e^x}{x-2}$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
$$f'(x)=\frac{e^x(x-2)-e^x}{(x-2)^2}=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$$
Так как $$e^x>0$$ и $$ (x-2)^2>0,$$ знак производной определяется выражением $$x-3.$$
Функция убывает на $$(-\infty;2)\cup(2;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty).$$
В точке $$x=3$$ — минимум.
9) $$f(x)=\frac{4x}{e^x}$$
$$f'(x)=\frac{4e^x-4xe^x}{e^{2x}}=\frac{4e^x(1-x)}{e^{2x}}$$
Так как $$e^x>0,$$ то $$f'(x)>0$$ при $$x<1$$ и $$f'(x)<0$$ при $$x>1.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ — максимум.
10) $$f(x)=x^3\ln x$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac1x=x^2(3\ln x+1)$$
$$f'(x)=0 \iff 3\ln x+1=0 \iff x=e^{-1/3}.$$
Функция убывает на $$\left(0;e^{-1/3}\right]$$ и возрастает на $$\left[e^{-1/3};+\infty\right).$$
В точке $$x=e^{-1/3}$$ — минимум.
11) $$f(x)=\ln x-x$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}$$
$$f'(x)=0 \iff x=1.$$
Функция возрастает на $$\left(0;1\right]$$ и убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$
В точке $$x=1$$ — максимум.
12) $$f(x)=x^2\lg x$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=2x\lg x+x^2\cdot \frac{1}{x\ln 10}=x\left(2\lg x+\frac{1}{\ln 10}\right)$$
$$f'(x)=0 \iff 2\lg x+\frac{1}{\ln 10}=0 \iff \lg x=-\frac12 \iff x=e^{-1/2}.$$
Функция убывает на $$\left(0;e^{-1/2}\right]$$ и возрастает на $$\left[e^{-1/2};+\infty\right).$$
В точке $$x=e^{-1/2}$$ — минимум.
13) $$f(x)=\ln x+\frac1x$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=\frac1x-\frac1{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$$
$$f'(x)=0 \iff x=1.$$
Функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$
В точке $$x=1$$ — минимум.
14) $$f(x)=\frac{x}{\ln x}$$
Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$
$$f'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$$
Так как $$ (\ln x)^2>0,$$ то знак производной определяется выражением $$\ln x-1.$$
$$f'(x)=0 \iff x=e.$$
Функция убывает на $$\left(0;1\right)\cup(1;e]$$ и возрастает на $$[e;+\infty).$$
В точке $$x=e$$ — минимум.
15) $$f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=\frac{\frac1x\sqrt{x}-\ln x\cdot \frac1{2\sqrt{x}}}{x}$$
После упрощения:
$$f'(x)=\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$$
Так как знаменатель положителен, то $$f'(x)=0 \iff \ln x=2 \iff x=e^2.$$
Функция возрастает на $$\left(0;e^2\right]$$ и убывает на $$\left[e^2;+\infty\right).$$
В точке $$x=e^2$$ — максимум.
16) $$f(x)=x^2-\ln x^2$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
$$f'(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}$$
Критические точки: $$x=-1,\ x=1.$$
Функция возрастает на $$[-1;0)\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup(0;1].$$
В точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ — минимумы.
17) $$f(x)=2\ln^3 x-3\ln^2 x$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=\frac{6\ln^2 x-6\ln x}{x}=\frac{6\ln x(\ln x-1)}{x}$$
Так как $$x>0,$$ знак производной определяется выражением $$\ln x(\ln x-1).$$
$$f'(x)=0 \iff x=1 \text{ или } x=e.$$
Функция возрастает на $$\left(0;1\right]\cup\left[e;+\infty\right)$$ и убывает на $$[1;e].$$
В точке $$x=1$$ — максимум, в точке $$x=e$$ — минимум.
18) $$f(x)=\lg^2 x-\lg x$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=\frac{2\lg x}{x\ln 10}-\frac{1}{x\ln 10}=\frac{2\lg x-1}{x\ln 10}$$
Так как $$x\ln 10>0,$$ то $$f'(x)=0 \iff 2\lg x-1=0 \iff \lg x=\frac12 \iff x=\sqrt{10}.$$
Функция убывает на $$\left(0;\sqrt{10}\right]$$ и возрастает на $$\left[\sqrt{10};+\infty\right).$$
В точке $$x=\sqrt{10}$$ — минимум.
Ответ
1) возрастает на $$[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0],$$ $$x_{\min}=0$$;
2) возрастает на $$\left[-\frac12;+\infty\right),$$ убывает на $$\left(-\infty;-\frac12\right],$$ $$x_{\min}=-\frac12$$;
3) возрастает на $$(-\infty;0],$$ убывает на $$[0;+\infty),$$ $$x_{\max}=0$$;
4) возрастает на $$\left[0;\frac{2}{\ln 2}\right],$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{2}{\ln 2};+\infty\right),$$ $$x_{\min}=0,\ x_{\max}=\frac{2}{\ln 2}$$;
5) возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty),$$ $$x_{\max}=1$$;
6) возрастает на $$[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0],$$ $$x_{\min}=0$$;
7) возрастает на $$(-\infty;2],$$ убывает на $$[2;+\infty),$$ $$x_{\max}=2$$;
8) возрастает на $$[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2)\cup(2;3],$$ $$x_{\min}=3$$;
9) возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty),$$ $$x_{\max}=1$$;
10) возрастает на $$\left[e^{-1/3};+\infty\right),$$ убывает на $$\left(0;e^{-1/3}\right],$$ $$x_{\min}=e^{-1/3}$$;
11) возрастает на $$\left(0;1\right],$$ убывает на $$\left[1;+\infty\right),$$ $$x_{\max}=1$$;
12) возрастает на $$\left[e^{-1/2};+\infty\right),$$ убывает на $$\left(0;e^{-1/2}\right],$$ $$x_{\min}=e^{-1/2}$$;
13) возрастает на $$[1;+\infty),$$ убывает на $$\left(0;1\right],$$ $$x_{\min}=1$$;
14) возрастает на $$[e;+\infty),$$ убывает на $$\left(0;1\right)\cup(1;e],$$ $$x_{\min}=e$$;
15) возрастает на $$\left(0;e^2\right],$$ убывает на $$\left[e^2;+\infty\right),$$ $$x_{\max}=e^2$$;
16) возрастает на $$[-1;0)\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup(0;1],$$ $$x_{\min}=-1,\ x_{\min}=1$$;
17) возрастает на $$\left(0;1\right]\cup\left[e;+\infty\right),$$ убывает на $$[1;e],$$ $$x_{\max}=1,\ x_{\min}=e$$;
18) возрастает на $$\left[\sqrt{10};+\infty\right),$$ убывает на $$\left(0;\sqrt{10}\right],$$ $$x_{\min}=\sqrt{10}$$.
