Упр.7.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (log_7 (7x))^2-log_7 x?3; 3) ((log_3 x)^2-6log_3 x+8)/(log_3 x-1)?0;
2) (log_6 (x/216))^2+8log_6 x-12?0; 4) log_0,5 x-2log_x 0,5?1.

1. $$\log_7(7x)-\log_7 x \ge 3$$

   Так как $$\log_7(7x)=1+\log_7 x,$$ получаем

   $$1+\log_7 x-\log_7 x \ge 3,$$

   $$1 \ge 3.$$

   Это неверно, значит, решений нет.

2. $$\left(\log_6 \frac{x}{216}\right)^2+8\log_6 x-12 \le 0$$

   Пусть $$t=\log_6 x.$$ Тогда

   $$\log_6 \frac{x}{216}=\log_6 x-\log_6 216=t-3,$$

   и неравенство принимает вид

   $$ (t-3)^2+8t-12 \le 0,$$

   $$t^2-6t+9+8t-12 \le 0,$$

   $$t^2+2t-3 \le 0,$$

   $$ (t+3)(t-1)\le 0.$$

   Отсюда

   $$-3 \le t \le 1.$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

   $$6^{-3}\le x \le 6^1,$$

   $$\frac{1}{216}\le x \le 6.$$

3. $$\frac{(\log_3 x)^2-6\log_3 x+8}{\log_3 x-1}\ge 0$$

   Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда

   $$\frac{t^2-6t+8}{t-1}\ge 0,$$

   $$\frac{(t-2)(t-4)}{t-1}\ge 0.$$

   Критические точки: $$t=1,2,4.$$ По знакам дроби получаем

   $$1<t\le 2 \quad \text{или} \quad t\ge 4.$$

   Возвращаясь к $$x$$:

   $$3<x\le 9 \quad \text{или} \quad x\ge 81.$$

4. $$\log_{0,5}x-2\log_x 0,5 \le 1$$

   Пусть $$t=\log_{0,5}x.$$ Тогда

   $$\log_x 0,5=\frac{1}{\log_{0,5}x}=\frac{1}{t},$$

   и неравенство имеет вид

   $$t-\frac{2}{t}\le 1,$$

   $$t-\frac{2}{t}-1\le 0,$$

   $$\frac{t^2-t-2}{t}\le 0,$$

   $$\frac{(t+1)(t-2)}{t}\le 0.$$

   С учётом области определения $$t\ne 0$$ получаем

   $$t\le -1 \quad \text{или} \quad 0<t\le 2.$$

   Так как $$t=\log_{0,5}x,$$ то

   $$\log_{0,5}x\le -1 \Rightarrow x\ge 2,$$

   $$0<\log_{0,5}x\le 2 \Rightarrow 0<x\le 0{,}25.$$

Ответ

1) $$\varnothing$$; 2) $$\left[\frac{1}{216};\,6\right]$$; 3) $$(3;\,9]\cup[81;\,+\infty)$$; 4) $$(0;\,0{,}25]\cup[2;\,+\infty)$$.