Упр.7.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (log_2 (4x))^2+2log_2 x-11 < 0; 3) (lg^2 x+lg x-6)/lg x?0; 2) (log_3 (27x))^2+3log_3 x-19?0; 4) 2log_5 x-log_x 5?1.
$$\log_2^2(4x)+2\log_2 x-11<0$$
$$\log_2(4x)=2+\log_2 x,$$ тогда
$$\left(2+\log_2 x\right)^2+2\log_2 x-11<0.$$
Обозначим $$t=\log_2 x$$. Получаем
$$t^2+6t-7<0.$$
Найдём корни:
$$D=6^2+4\cdot 7=64,$$
$$t_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\qquad t_2=\frac{-6+8}{2}=1.$$
Тогда
$$-7<\log_2 x<1,$$
$$2^{-7}<x<2^1,$$
$$\frac{1}{128}<x<2.$$
$$\log_3^2(27x)+3\log_3 x-19\ge 0$$
$$\log_3(27x)=3+\log_3 x,$$ значит
$$\left(3+\log_3 x\right)^2+3\log_3 x-19\ge 0.$$
Положим $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$t^2+9t-10\ge 0.$$
Корни уравнения:
$$D=9^2+4\cdot 10=121,$$
$$t_1=\frac{-9-11}{2}=-10,\qquad t_2=\frac{-9+11}{2}=1.$$
Следовательно,
$$\log_3 x\le -10 \quad \text{или} \quad \log_3 x\ge 1.$$
Отсюда
$$0<x\le 3^{-10} \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$
$$\frac{\lg^2 x+\lg x-6}{\lg x}\ge 0$$
Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$
Положим $$t=\lg x$$. Тогда
$$\frac{t^2+t-6}{t}\ge 0,$$
$$\frac{(t+3)(t-2)}{t}\ge 0.$$
Критические точки: $$t=-3,\ 0,\ 2.$$
По знакам получаем:
$$-3\le t<0 \quad \text{или} \quad t\ge 2.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$10^{-3}\le x<1 \quad \text{или} \quad x\ge 100.$$
$$2\log_5 x-\log_x 5\le 1$$
Пусть $$t=\log_5 x,$$ тогда $$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}=\frac{1}{t}.$$
Получаем
$$2t-\frac{1}{t}\le 1,$$
$$\frac{2t^2-t-1}{t}\le 0,$$
$$\frac{(2t+1)(t-1)}{t}\le 0.$$
Критические точки: $$t=-\frac12,\ 0,\ 1.$$
По знакам:
$$t\le -\frac12 \quad \text{или} \quad 0<t\le 1.$$
Тогда
$$x\le 5^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt5} \quad \text{или} \quad 1<x\le 5.$$
Ответ
1) $$\left(\frac{1}{128};\,2\right)$$; 2) $$\left(0;\,3^{-10}\right]\cup[3;\,+\infty)$$; 3) $$\left[10^{-3};\,1\right)\cup[100;\,+\infty)$$; 4) $$\left(0;\,\frac{1}{\sqrt5}\right]\cup(1;\,5]$$.
