Упр.7.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (log_0,2 x)^2?1; 4) (log_(1/4) x)^2+2log_(1/4) x-8?0;
2) (log_(1/3) x)^2?4; 5) (log_2 x)^2-5log_2 x+6?0;
3) lg^2 x+3lg x-4 < 0; 6) 2(log_(1/9) x)^2-5log_(1/9) x+2?0.
$$\left(\log_{0,2} x\right)^2 \le 1$$
Положим $$t=\log_{0,2} x$$. Тогда
$$t^2-1\le 0$$
$$\left(t-1\right)\left(t+1\right)\le 0$$
$$-1\le t\le 1$$
Так как $$0<0,2<1$$, то при переходе к основанию логарифма знак неравенства меняется:
$$0,2^1\le x\le 0,2^{-1}$$
$$\frac15\le x\le 5$$
$$\left(\log_{\frac13} x\right)^2 \ge 4$$
Положим $$t=\log_{\frac13} x$$. Тогда
$$t^2-4\ge 0$$
$$\left(t-2\right)\left(t+2\right)\ge 0$$
$$t\le -2 \quad \text{или} \quad t\ge 2$$
Так как $$0<\frac13<1$$, получаем:
$$x\ge \left(\frac13\right)^{-2}=9 \quad \text{или} \quad 0<x\le \left(\frac13\right)^2=\frac19$$
$$\lg^2 x+3\lg x-4<0$$
Положим $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2+3t-4<0$$
$$\left(t+4\right)\left(t-1\right)<0$$
$$-4<t<1$$
$$10^{-4}<x<10^1$$
$$0,0001<x<10$$
$$\left(\log_{\frac14} x\right)^2+2\log_{\frac14} x-8\le 0$$
Положим $$t=\log_{\frac14} x$$. Тогда
$$t^2+2t-8\le 0$$
$$\left(t+4\right)\left(t-2\right)\le 0$$
$$-4\le t\le 2$$
Так как $$0<\frac14<1$$, то
$$\left(\frac14\right)^2\le x\le \left(\frac14\right)^{-4}$$
$$\frac1{16}\le x\le 256$$
$$\left(\log_2 x\right)^2-5\log_2 x+6\ge 0$$
Положим $$t=\log_2 x$$. Тогда
$$t^2-5t+6\ge 0$$
$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)\ge 0$$
$$t\le 2 \quad \text{или} \quad t\ge 3$$
Следовательно,
$$0<x\le 4 \quad \text{или} \quad x\ge 8$$
$$2\left(\log_{\frac19} x\right)^2-5\log_{\frac19} x+2\ge 0$$
Положим $$t=\log_{\frac19} x$$. Тогда
$$2t^2-5t+2\ge 0$$
$$\left(2t-1\right)\left(t-2\right)\ge 0$$
$$t\le \frac12 \quad \text{или} \quad t\ge 2$$
Так как $$0<\frac19<1$$, получаем:
$$x\ge \left(\frac19\right)^{\frac12}=\frac13 \quad \text{или} \quad 0<x\le \left(\frac19\right)^2=\frac1{81}$$
Ответ
1) $$\left[\frac15;5\right]$$; 2) $$\left(0;\frac19\right]\cup[9;+\infty)$$; 3) $$\left(0,0001;10\right)$$; 4) $$\left[\frac1{16};256\right]$$; 5) $$\left(0;4\right]\cup[8;+\infty)$$; 6) $$\left(0;\frac1{81}\right]\cup\left[\frac13;+\infty\right)$$.
