Упр.7.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_2 (-x)+log_2 (1-x)?1;
2) log_0,2 (x-1)+log_0,2 (x+3)?-1;
3) log_3 (x-2)+log_3 (x-10)?2;
4) log_7 x+log_7 (3x-8)?1+2log_7 2.

1. $$\log_2(-x)+\log_2(1-x)\le 1$$

   Объединим логарифмы:

   $$\log_2\bigl((-x)(1-x)\bigr)\le \log_2 2$$

   Так как основание $$2>1$$, получаем:

   $$-x(1-x)\le 2$$

   $$x^2-x-2\le 0$$

   $$ (x+1)(x-2)\le 0 $$

   Отсюда $$-1\le x\le 2$$.

   Учитываем область определения:

   $$-x>0,\quad 1-x>0$$

   $$x<0,\quad x<1$$

   Значит, $$x<0$$.

   Пересечение даёт:

   $$[-1;0)$$

2. $$\log_{0,2}(x-1)+\log_{0,2}(x+3)\ge -1$$

   Объединим логарифмы:

   $$\log_{0,2}\bigl((x-1)(x+3)\bigr)\ge \log_{0,2} 5$$

   Так как основание $$0,2<1$$, знак неравенства меняется:

   $$ (x-1)(x+3)\le 5 $$

   $$x^2+2x-3\le 5$$

   $$x^2+2x-8\le 0$$

   $$ (x+4)(x-2)\le 0 $$

   Отсюда $$-4\le x\le 2$$.

   Область определения:

   $$x-1>0,\quad x+3>0$$

   $$x>1$$

   Пересечение:

   $$ (1;2] $$

3. $$\log_3(x-2)+\log_3(x-10)\ge 2$$

   Объединим логарифмы:

   $$\log_3\bigl((x-2)(x-10)\bigr)\ge \log_3 9$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем:

   $$ (x-2)(x-10)\ge 9 $$

   $$x^2-12x+20\ge 9$$

   $$x^2-12x+11\ge 0$$

   $$ (x-1)(x-11)\ge 0 $$

   Отсюда $$x\le 1$$ или $$x\ge 11$$.

   Область определения:

   $$x-2>0,\quad x-10>0$$

   $$x>10$$

   Пересечение:

   $$[11;+\infty)$$

4. $$\log_7 x+\log_7(3x-8)\ge 1+2\log_7 2$$

   Преобразуем правую часть:

   $$1+2\log_7 2=\log_7 7+\log_7 4=\log_7 28$$

   Тогда

   $$\log_7\bigl(x(3x-8)\bigr)\ge \log_7 28$$

   Так как основание $$7>1$$, получаем:

   $$x(3x-8)\ge 28$$

   $$3x^2-8x-28\ge 0$$

   $$ (3x+7)(x-4)\ge 0 $$

   Отсюда $$x\le -\frac{7}{3}$$ или $$x\ge 4$$.

   Область определения:

   $$x>0,\quad 3x-8>0$$

   $$x>\frac{8}{3}$$

   Пересечение:

   $$[4;+\infty)$$

Ответ

1) $$[-1;0)$$; 2) $$(1;2]$$; 3) $$[11;+\infty)$$; 4) $$[4;+\infty)$$.