Упр.7.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) lg x+lg (x-3) > 1;
2) log_(1/3) (x+2)+log_(1/3) x < -1; 3) log_2 x+log_2 (x+4) < 5; 4) log_0,1 (x-5)+log_0,1 (x-2)?-1; 5) log_6 (5x+8)+log_6 (x+1)?1-log_6 3; 6) log_3 (1-x)+log_3 (-5x-2)?2log_3 2+1.

1. $$\lg x+\lg(x-3)>1$$

   Объединим логарифмы:
   $$\lg\bigl(x(x-3)\bigr)>\lg 10.$$
   Тогда
   $$x(x-3)>10,$$
   $$x^2-3x-10>0,$$
   $$ (x+2)(x-5)>0.$$
   С учётом области определения:
   $$x>0,\quad x-3>0 \Rightarrow x>3.$$
   Пересечение с решением неравенства даёт:
   $$x>5.$$

2. $$\log_{\frac13}(x+2)+\log_{\frac13}x<-1$$

   Так как $$-1=\log_{\frac13}3,$$ получаем:
   $$\log_{\frac13}\bigl(x(x+2)\bigr)<\log_{\frac13}3.$$
   Основание $$\frac13<1,$$ значит знак неравенства меняется:
   $$x(x+2)>3,$$
   $$x^2+2x-3>0,$$
   $$ (x+3)(x-1)>0.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x>0,\quad x+2>0 \Rightarrow x>0.$$
   Тогда
   $$x>1.$$

3. $$\log_2 x+\log_2(x+4)<5$$

   Объединим логарифмы:
   $$\log_2\bigl(x(x+4)\bigr)<\log_2 32.$$
   Тогда
   $$x(x+4)<32,$$
   $$x^2+4x-32<0,$$
   $$ (x+8)(x-4)<0.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x>0,\quad x+4>0 \Rightarrow x>0.$$
   Получаем
   $$0<x<4.$$

4. $$\log_{0,1}(x-5)+\log_{0,1}(x-2)\ge -1$$

   Так как $$-1=\log_{0,1}10,$$ имеем:
   $$\log_{0,1}\bigl((x-5)(x-2)\bigr)\ge \log_{0,1}10.$$
   Основание $$0,1<1,$$ поэтому знак неравенства меняется:
   $$ (x-5)(x-2)\le 10,$$
   $$x^2-7x\le 0,$$
   $$x(x-7)\le 0.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$x-5>0,\quad x-2>0 \Rightarrow x>5.$$
   Пересечение даёт:
   $$5<x\le 7.$$

5. $$\log_6(5x+8)+\log_6(x+1)\le 1-\log_6 3$$

   Преобразуем правую часть:
   $$1-\log_6 3=\log_6 6-\log_6 3=\log_6 2.$$
   Тогда
   $$\log_6\bigl((5x+8)(x+1)\bigr)\le \log_6 2.$$
   Следовательно,
   $$ (5x+8)(x+1)\le 2,$$
   $$5x^2+13x+8\le 2,$$
   $$5x^2+13x+6\le 0,$$
   $$ (5x+3)(x+2)\le 0.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$5x+8>0 \Rightarrow x>-\frac85,\qquad x+1>0 \Rightarrow x>-1.$$
   Значит, $$x>-1.$$
   Из неравенства получаем
   $$-2\le x\le -\frac35.$$
   Пересечение:
   $$-1<x\le -\frac35.$$

6. $$\log_3(1-x)+\log_3(-5x-2)\ge 2\log_3 2+1$$

   Преобразуем правую часть:
   $$2\log_3 2+1=\log_3 4+\log_3 3=\log_3 12.$$
   Тогда
   $$\log_3\bigl((1-x)(-5x-2)\bigr)\ge \log_3 12,$$
   откуда
   $$ (1-x)(-5x-2)\ge 12.$$
   Раскроем скобки:
   $$5x^2-3x-2\ge 12,$$
   $$5x^2-3x-14\ge 0,$$
   $$ (5x+7)(x-2)\ge 0.$$
   С учётом ОДЗ:
   $$1-x>0 \Rightarrow x<1,\qquad -5x-2>0 \Rightarrow x<-\frac25.$$
   Значит, $$x<-\frac25.$$
   Из неравенства:
   $$x\le -\frac75 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
   Пересечение с ОДЗ даёт:
   $$x\le -\frac75.$$

Ответ

1) $$\left(5;+\infty\right)$$;
2) $$\left(1;+\infty\right)$$;
3) $$\left(0;4\right)$$;
4) $$\left(5;7\right]$$;
5) $$\left(-1;-\frac35\right]$$;
6) $$\left(-\infty;-\frac75\right]$$.