Упр.7.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_0,3 (x^2+x-12)?log_0,3 (6x-6);
2) lg (x^2-x)?lg (3x-3);
3) log_0,8 (1-x^2) > log_0,8 (x^2+5x-2);
4) 2log_2 (2x+7)?5+log_2 (x+2);
5) log_3 (x^2+2x-3)?log_3 (x+9);
6) log_(1/7) (2x^2+3x+1)?2log_(1/7) (1-x).

1. Так как основание $$0{,}3<1,$$ логарифмическая функция убывает, поэтому

   $$
   \log_{0{,}3}(x^2+x-12)\ge \log_{0{,}3}(6x-6)
   \iff x^2+x-12\le 6x-6.
   $$

   Решим неравенство:

   $$
   x^2-5x-6\le 0
   $$

   $$
   (x+1)(x-6)\le 0 \Rightarrow x\in[-1;6].
   $$

   ОДЗ:

   $$
   x^2+x-12>0,\qquad 6x-6>0.
   $$

   $$
   (x+4)(x-3)>0 \Rightarrow x<-4 \text{ или } x>3,
   $$

   $$
   x>1.
   $$

   Пересечение с $$[-1;6]$$ даёт:

   $$
   x\in(3;6].
   $$

2. Так как $$\lg$$ — возрастающая функция, получаем:

   $$
   \lg(x^2-x)\le \lg(3x-3)\iff x^2-x\le 3x-3.
   $$

   $$
   x^2-4x+3\le 0
   $$

   $$
   (x-1)(x-3)\le 0 \Rightarrow x\in[1;3].
   $$

   ОДЗ:

   $$
   x^2-x>0,\qquad 3x-3>0.
   $$

   $$
   x(x-1)>0 \Rightarrow x<0 \text{ или } x>1,
   $$

   $$
   x>1.
   $$

   Итак,

   $$
   x\in(1;3].
   $$

3. Так как $$0{,}8<1,$$ логарифмическая функция убывает:

   $$
   \log_{0{,}8}(1-x^2)>\log_{0{,}8}(x^2+5x-2)
   \iff 1-x^2<x^2+5x-2.
   $$

   $$
   2x^2+5x-3>0
   $$

   $$
   (2x-1)(x+3)>0 \Rightarrow x<-3 \text{ или } x>\frac12.
   $$

   ОДЗ:

   $$
   1-x^2>0,\qquad x^2+5x-2>0.
   $$

   $$
   -1<x<1.
   $$

   Пересечение даёт:

   $$
   x\in\left(\frac12;1\right).
   $$

4. Преобразуем левую часть:

   $$
   2\log_2(2x+7)=\log_2(2x+7)^2.
   $$

   Тогда

   $$
   \log_2(2x+7)^2\ge 5+\log_2(x+2)
   $$

   $$
   \log_2(2x+7)^2\ge \log_2\bigl(32(x+2)\bigr).
   $$

   Так как основание $$2>1,$$ получаем:

   $$
   (2x+7)^2\ge 32(x+2).
   $$

   $$
   4x^2-4x-15\ge 0
   $$

   $$
   (2x-5)(2x+3)\ge 0 \Rightarrow x\le -\frac32 \text{ или } x\ge \frac52.
   $$

   ОДЗ:

   $$
   2x+7>0,\qquad x+2>0,
   $$

   то есть $$x>-2.$$

   Итак,

   $$
   x\in\left(-2;-\frac32\right]\cup\left[\frac52;+\infty\right).
   $$

5. Так как $$\log_3$$ — возрастающая функция, имеем:

   $$
   \log_3(x^2+2x-3)\le \log_3(x+9)
   \iff x^2+2x-3\le x+9.
   $$

   $$
   x^2+x-12\le 0
   $$

   $$
   (x+4)(x-3)\le 0 \Rightarrow x\in[-4;3].
   $$

   ОДЗ:

   $$
   x^2+2x-3>0,\qquad x+9>0.
   $$

   $$
   (x+3)(x-1)>0 \Rightarrow x<-3 \text{ или } x>1.
   $$

   Пересечение:

   $$
   x\in[-4;-3)\cup(1;3].
   $$

6. Преобразуем правую часть:

   $$
   2\log_{1/7}(1-x)=\log_{1/7}(1-x)^2.
   $$

   Так как основание $$\frac17<1,$$ функция убывает, поэтому

   $$
   \log_{1/7}(2x^2+3x+1)\ge \log_{1/7}(1-x)^2
   \iff 2x^2+3x+1\le (1-x)^2.
   $$

   $$
   2x^2+3x+1\le x^2-2x+1
   $$

   $$
   x^2+5x\le 0
   $$

   $$
   x(x+5)\le 0 \Rightarrow x\in[-5;0].
   $$

   ОДЗ:

   $$
   2x^2+3x+1>0,\qquad 1-x>0.
   $$

   $$
   (2x+1)(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>-\frac12,
   $$

   $$
   x<1.
   $$

   Пересечение с $$[-5;0]$$ даёт:

   $$
   x\in[-5;-1)\cup\left(-\frac12;0\right].
   $$

Ответ

1) $$x\in(3;6]$$; 2) $$x\in(1;3]$$; 3) $$x\in\left(\frac12;1\right)$$; 4) $$x\in\left(-2;-\frac32\right]\cup\left[\frac52;+\infty\right)$$; 5) $$x\in[-4;-3)\cup(1;3]$$; 6) $$x\in[-5;-1)\cup\left(-\frac12;0\right]$$.