Упр.7.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) log_(1/3) (x^2-5x+7) > 0; 4) log_0,3 (x^2-2x+1)?0;
2) log_9 (x^2-6x+8)?0,5; 5) log_4 ((3x-1)/(x-1))?1;
3) log_0,5 (x^2+3x)?-2; 6) log_(1/2) ((2x-1)/(3x+1)) > 1.
$$\log_{\frac13}(x^2-5x+7)>0$$
Так как $$0<\frac13<1,$$ то логарифмическая функция убывает, значит
$$0<x^2-5x+7<1.$$
Из неравенства $$x^2-5x+7<1$$ получаем
$$x^2-5x+6<0$$
$$ (x-2)(x-3)<0,$$
откуда $$2<x<3.$$
При этом $$x^2-5x+7>0$$ для всех $$x\in\mathbb R,$$ так как
$$D=25-28=-3<0.$$
Следовательно, $$x\in(2;3).$$
$$\log_9(x^2-6x+8)\le 0{,}5$$
Так как $$9^{0{,}5}=3,$$ то
$$0<x^2-6x+8\le 3.$$
Решим неравенство $$x^2-6x+8\le 3$$:
$$x^2-6x+5\le 0$$
$$ (x-1)(x-5)\le 0,$$
откуда $$1\le x\le 5.$$
Область определения:
$$x^2-6x+8>0$$
$$ (x-2)(x-4)>0,$$
значит, $$x<2$$ или $$x>4.$$
Пересекаем с найденным промежутком:
$$x\in[1;2)\cup(4;5].$$
$$\log_{0{,}5}(x^2+3x)\ge -2$$
Так как $$0<0{,}5<1,$$ то
$$0<x^2+3x\le (0{,}5)^{-2}=4.$$
Решим неравенство $$x^2+3x\le 4$$:
$$x^2+3x-4\le 0$$
$$ (x+4)(x-1)\le 0,$$
откуда $$-4\le x\le 1.$$
Область определения:
$$x^2+3x>0$$
$$x(x+3)>0,$$
значит, $$x<-3$$ или $$x>0.$$
Пересечение даёт
$$x\in[-4;-3)\cup(0;1].$$
$$\log_{0{,}3}(x^2-2x+1)\ge 0$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ то
$$0<x^2-2x+1\le 1.$$
Имеем
$$x^2-2x+1\le 1$$
$$x^2-2x\le 0$$
$$x(x-2)\le 0,$$
откуда $$0\le x\le 2.$$
Область определения:
$$x^2-2x+1>0$$
$$ (x-1)^2>0,$$
значит, $$x\ne 1.$$
Следовательно, $$x\in[0;1)\cup(1;2].$$
$$\log_4\frac{3x-1}{x-1}\le 1$$
Так как $$4^1=4,$$ то
$$\frac{3x-1}{x-1}\le 4.$$
Приведём к одной дроби:
$$\frac{3x-1-4(x-1)}{x-1}\le 0$$
$$\frac{3-x}{x-1}\le 0$$
$$\frac{x-3}{x-1}\ge 0.$$
Отсюда $$x<1$$ или $$x\ge 3.$$
Область определения:
$$\frac{3x-1}{x-1}>0.$$
Критические точки: $$x=\frac13$$ и $$x=1.$$ Тогда
$$x<\frac13 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Пересечение даёт
$$x\in\left(-\infty;\frac13\right)\cup[3;+\infty).$$
$$\log_{\frac12}\frac{2x-1}{3x+1}>1$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ то
$$0<\frac{2x-1}{3x+1}<\left(\frac12\right)^1=\frac12.$$
Решим неравенство
$$\frac{2x-1}{3x+1}<\frac12.$$
Приведём к одной дроби:
$$\frac{2(2x-1)-(3x+1)}{2(3x+1)}<0$$
$$\frac{x-3}{3x+1}<0.$$
Отсюда $$-\frac13<x<3.$$
Область определения:
$$\frac{2x-1}{3x+1}>0.$$
Это выполняется при $$x<-\frac13$$ или $$x>\frac12.$$
Пересечение с $$-\frac13<x<3$$ даёт
$$x\in\left(\frac12;3\right).$$
Ответ
1) $$ (2;3) $$; 2) $$ [1;2)\cup(4;5] $$; 3) $$ [-4;-3)\cup(0;1] $$; 4) $$ [0;1)\cup(1;2] $$; 5) $$ \left(-\infty;\frac13\right)\cup[3;+\infty) $$; 6) $$ \left(\frac12;3\right) $$.
