Упр.7.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_(1/6) (x+2)?0; 3) log_0,3 (4x-3)?log_0,3 (x+3);
2) log_(1/2) (6-x) > -2; 4) log_(1/3) (x^2-2x+1)?-1.

1. $$\log_{\frac16}(x+2)\le 0$$

   Так как $$0<\frac16<1,$$ знак неравенства для аргумента меняется:

   $$x+2\ge 1,$$

   $$x\ge -1.$$

   Наименьшее целое решение: $$-1.$$

2. $$\log_{\frac12}(6-x)>-2$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$0<6-x<\left(\frac12\right)^{-2}=4.$$

   Решаем систему:

   $$6-x>0 \Rightarrow x<6,$$

   $$6-x<4 \Rightarrow -x<-2 \Rightarrow x>2.$$

   Получаем $$2<x<6.$$

   Наименьшее целое решение: $$3.$$

3. $$\log_{0{,}3}(4x-3)\ge \log_{0{,}3}(x+3)$$

   Так как $$0<0{,}3<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$4x-3\le x+3.$$

   Кроме того, должны выполняться условия области определения:

   $$4x-3>0,\quad x+3>0.$$

   Из неравенства:

   $$3x\le 6 \Rightarrow x\le 2.$$

   Из ОДЗ:

   $$x>\frac34,\quad x>-3.$$

   Итак, $$\frac34<x\le 2.$$

   Наименьшее целое решение: $$1.$$

4. $$\log_{\frac13}(x^2-2x+1)\ge -1$$

   Так как $$0<\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$0<x^2-2x+1\le \left(\frac13\right)^{-1}=3.$$

   Получаем:

   $$0<(x-1)^2\le 3.$$

   Из условия $$ (x-1)^2\le 3 $$ имеем:

   $$x^2-2x-2\le 0.$$

   Найдём корни уравнения $$x^2-2x-2=0$$:

   $$D=4+8=12,$$

   $$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt3.$$

   Тогда

   $$1-\sqrt3\le x\le 1+\sqrt3,$$

   и нужно исключить $$x=1,$$ так как аргумент логарифма не может быть равен нулю.

   Наименьшее целое решение: $$0.$$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$3$$; 3) $$1$$; 4) $$0$$.